Kezdőlap


Feladat:	985. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ungár Tamás
Füzet:	1960/április, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Exponenciális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 985. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy a bal oldalon álló kifejezéseknek legyen értelmük a valós számok körében, mindegyik négyzetgyökről fel kell tennünk, hogy alatta nem negatív szám áll. Ebből a belső gyökre $a^{2} - 1 ≧ 0$ , azaz vagy $a ≦ - 1$ , vagy $a ≧ 1$ . Ekkor $\sqrt[]{a^{2} - 1} < \sqrt[]{a^{2}} = ∣ a ∣$ , ezért az első (külső) gyök alatti szám akkor pozitív ha $a ≧ 1$ . Így a második gyök alatt is pozitív szám áll.
Vegyük észre, hogy a két $x$ -kitevős hatvány alapja egymás reciproka:

\begin{matrix} \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} - 1}} \cdot \sqrt[]{a - \sqrt[]{a^{2} - 1}} = \sqrt[]{a^{2} - (a^{2} - 1)} = 1. \end{matrix}

Ennek alapján a bal oldal első tagját

y

-nal jelölve egyenletünk így egyszerűsödik:

\begin{matrix} y + \frac{1}{y} = 2 a, \end{matrix}

innen pedig

\begin{matrix} y_{1, 2} = a \pm \sqrt[]{a^{2} - 1}, \end{matrix}

a két gyök egymás reciproka. Most már

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} - 1}})}^{x} = y_{1} = a + \sqrt[]{a^{2} - 1} - ből : \\ x = \frac{lg (a + \sqrt[]{a^{2} - 1})}{lg \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} - 1}}} = 2, \end{matrix}

feltéve, hogy itt a nevező nem 0, vagyis

a + \sqrt[]{a^{2} - 1} \neq 1

; és hasonlóan

y_{2} = a - \sqrt[]{a^{2} - 1}

-gyel

x_{2} = - 2

.
Valóban,

x = 2

-vel a bal oldal értéke

\begin{matrix} (a + \sqrt[]{a^{2} - 1}) + (a - \sqrt[]{a^{2} - 1}) = 2 a, \end{matrix}

x = - 2

-vel e két tag helyett reciprokukat kell vennünk, ez pedig fenti megállapításunk szerint azt jelenti, hogy a két tag sorrendre felcserélődik, így

x = -

2 szintén gyök.
A kizárt eset következik be, ha

a = 1

; ekkor az egyenlet

1^{x} + 1^{x} = 2

alakú, ezt bármely

x

kielégíti.

Ungár Tamás (Budapest, Toldy F. g. III. o. t.)