Kezdőlap


Feladat:	984. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fischer Ádám , Kiss Ádám , Molnár Emil , Szabó Zoltán
Füzet:	1960/április, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 984. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az első feltevésből szorzással és a kifejezéseknek egyetlen szám logaritmusaként való feltüntetésével

\begin{matrix} 2 lg 2 + lg 3 = lg (2^{2} \cdot 3) = b lg 3 = lg 3^{b}, \end{matrix}

innen

3^{b} = 12

, és a bizonyítandó egyenlőség bal oldalának értéke

14

. Hasonlóan a második feltevésből

3^{c} = 2

, így a jobb oldal értéke ugyagcsak

14

. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Fischer Ádám (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. II. o. t.)

II. megoldás: Az első feltevésből tagonkénti osztással adódik:

2 c + 1 = b .

) Helyettesítsük ezt a bizonyítandó egyenlőségnek

0

-ra redukált alakjába, és kérdezzük, mely

c

mellett áll fenn:

\begin{matrix} 3 \cdot {(3^{c})}^{2} - 7 \cdot 3^{c} + 2 = 0. \end{matrix}

3^{c}

-re másodfokú egyenlet, teljesül, ha egyrészt

3^{c} = 2

azaz

c = lg 2 / lg 3

, amit éppen második feltevésünk biztosít, továbbá ha

3^{c} = 1 / 3

c = - 1

Szabó Zoltán (Debrecen, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A bizonyítandó egyenlőség

10

-es helyett bármely

a

-alapú logaritmusokkal fennáll, ha

a > 0

és

a \neq 1

Molnár Emil (Győr, Révai M. g. III. o. t.)

2. A határozott

2

és

3

számok helyett is írhatjuk tetszés szerinti pozitív szám logaritmusát. Általában ha

x

és

y

pozitívok, és

\begin{matrix} \frac{2 {log}_{}^{a} x + {log}_{}^{a} y}{{log}_{}^{a} y} = b és \frac{{log}_{}^{a} x}{{log}_{}^{a} y} = c . \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} y^{b} + x = (x y + 1) y^{c} . \end{matrix}

Kiss Ádám (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)