Kezdőlap


Feladat:	980. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bencsik I. , Bollobás B. , Czékus L. , Fischer A. , Fritz J. , Hajna J. , Halász G. , Hegedűs I. , Holop András , Jahn A. , Kolonits F. , Komlóssy Gy. , Losonczi L. , Máté Zs. , Mezey F. , Náray M. , Parti Enikő , Székely J. , Szűcs J. , Tihanyi A. , Tusnády G. , Várady G. , Zeke A.
Füzet:	1960/február, 58 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Kombinatorikai leszámolási problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/május: 980. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pályák zártságához szükséges, hogy egy körüljárásuk alatt a vonat irányváltozása $360^{\circ}$ legyen. Ez éppen elérhető, ha valamennyi görbe sínegységet felhasználjuk, éspedig valamennyit ugyanazon irányú kanyarodással. A feladat nem mondja ki, hogy valamennyi sínt be kell-e építeni, mégis a játék természetéből nyilvánvaló, hogy a játékosnak ,,joga van'' a kihagyásra; de, mint látjuk, csak egyenes síneket mellőzhet.
Szimmetriaközéppont létezése folytán a pálya bármely csatlakozási pontja és ennek tükörképe a pályát két egybevágó, egymáshoz képest $180^{\circ}$ -kal elforgatott félpályára osztja, ezért elég az első félpálya összeállítási lehetőségeit meghatároznunk. Ennek feltétlenül tartalmaznia kell 6 görbe sínegységet ( $G$ ), lehet benne továbbá legfeljebb 4 egyenes egység ( $E$ ).
Egy félpályát az egymás utáni sínegységek rövidítésével pl. így adhatunk meg: $G, G, G, E, G, G, E, E, G, E,$ vagy még rövidebben: $G^{3} E G^{2} E^{2} G E$ . De ugyanezt a teljes pályát adja ‐ csupán más kettéosztó pontokkal ‐ pl. az $E G E G^{3} E G^{2} E$ és ‐ ellentétes irányban haladva ‐ pl. a $G^{2} E G^{3} E G E^{2}$ leírás is (vagyis az utóbbi a pálya tengelyes tükörképét adja meg). Így kérdésünkre a választ a $6 G$ és legfeljebb $4 E$ betűből összeállítható különböző betűsorok felírásával és megszámlálásával adhatjuk meg, de ki kell zárnunk a fenti példa szerinti ismétlődéseket. Állapodjunk meg evégett a következőkben: 1) egymás utáni egynemű egységek feltétlenül $G^{α}$ , ill. $E^{β}$ alakban rövidítendők (tehát a második leírási példa nem használható); 2) a leírás elején $G$ álljon (eszerint, ha van még egy betű, akkor az utolsó betű $E$ ); 3) több $G$ -,,hatvány'' közül a legnagyobb ,,kitevőjű'' veendő az első helyre; ha több ilyen van, akkor az első $G$ után ne álljon $E$ -nek kisebb hatványa, mint a leírás végén. Így az alábbi táblázatba foglalt félpályákat kapjuk; ebben a

\begin{matrix} \begin{matrix} i = 0 & i = 1 & i = 2 & i = 3 & i = 4 \\ k = 0 G^{6} \\ k = 1 & G^{6} E & 2 t \\ k = 2 & G^{6} E^{2} & 2 t & G^{5} E G E & 2 t \\ [- 6 p t] & G^{4} E G^{2} E & 2 t \\ [- 6 p t] & G^{3} E G^{3} E & 4 t \\ k = 3 & G^{6} E^{3} & 2 t & G^{5} E^{2} G E & G^{4} E G E G E & 2 t \\ G^{4} E^{2} G^{2} E & G^{3} E G^{2} E G E \\ G^{3} E^{2} G^{3} E & 2 t & G^{2} E G^{2} E G^{2} E & 6 t \\ k = 4 & G^{6} E^{4} & 2 t & G^{5} E^{3} G E & G^{4} E^{2} G E G E & G^{3} E G E G E G E & 2 t \\ G^{5} E^{2} G E^{2} & 2 t & G^{4} E G E^{2} G E & 2 t & G^{2} E G^{2} E G E G E & 2 t \\ G^{4} E^{3} G^{2} E & G^{3} E^{2} G^{2} E G E & G^{2} E G E G^{2} E G E & 4 t \\ G^{4} E^{2} G E^{2} & 2 t & G^{3} E G^{2} E^{2} G E & = {(G^{2} E G E)}^{2} \\ G^{3} E^{3} G^{3} E & 2 t & G^{3} E G^{2} E G E^{2} \\ G^{3} E^{2} G^{3} E^{2} & 4 t & G^{2} E^{2} G^{2} E G^{2} E & 2 t \end{matrix} \end{matrix}

rendezés két szempontja: 1) hány

E

van a félpályában:

k = 0,1,2,3,4

; 2) ezek hány összefüggő szakaszt alkotnak:

i = 0,1,2,3,4

; természetesen

i \leq k

. A táblázat egymás utáni sávjaiban

1

1

4

7

16

különböző leírás szerepel, és könnyű belátni, hogy nem lehetséges további leírás. Így a szimmetriaközépponttal bíró lehetséges pályák száma 29.
Nyilvánvaló, hogy ha egy pályának van szimmetriatengelye, akkor az átmegy az

O

középponton és az

O

-n át rá merőlegesen álló egyenes is szimmetriatengely. Lehetséges 2, 3 ilyen tengelypár is, azaz 4, ill. 6 tengely ‐ mert 4 és 6 osztói 12-nek, a

G

egységek számának ‐; de 12 tengely már nem, mert ehhez legalább 12

E

-sín, kellene. Tengely létezése a pályaleírásokból rajz nélkül is felismerhető: akkor és csak akkor létezik tengely, ha a teljes leírásnak ‐ miután azt egy kör kerületére írtuk, bárhonnét kezdett fordított sorrendű leolvasása önmagával azonos. Pl.

G^{6} E^{2} G^{6} E^{2}

-nek 2,

G^{3} E G^{3} E G^{3} E G^{3} E = {(G^{3} E)}^{4} = {(E G^{3})}^{4}

-nek 4 tengelye van, hasonlóan

{(G^{2} E)}^{6}

-nak 6 tengelye (a táblázaton

2 t

4 t

6 t

). Az

E

-nélküli pálya kör, számtalan sok tengelye van.
A pályák megrajzolásához célszerű előre kitűzni a középpontok

K

rendszerét. Ez olyan 8-, 6-, 4-szög, esetleg egyenesszakasz (2-szög), kivételesen egyetlen pont (a fenti jelöléssel 2

i

-szög), mely ugyancsak tükrös a pálya szimmetriaközéppontjára és esetleges tengelyeire nézve, oldalai rendre annyi

E

hosszával egyenlők, ahány egymás utáni

E

-egység szerepel a pályában (kerülete

2 k

egység), külső szögei pedig rendre a

30^{\circ}

-nak annyiszorosai, ahány egymás utáni

G

szerepel. A pályákat a

K + K'

összegtartományok kerületei adják, ahol

K'

E

-nélküli körpályát jelenti.¹ A

K

-rendszerek az 1. ábrán láthatók.

1. ábra

Vannak középpont nélküli pályák is (2. ábra), legegyszerűbb az, amelynek

K

-rendszere 1, vagy 2

E

-nyi oldalú

H

szabályos háromszög.

2. ábra

Ugyancsak hármas forgási szimmetriát és három tengelyt mutat az

L = {(G^{3} E G E)}^{2}

rendszer, a továbbiak ezekből tartományösszegezéssel úgy kaphatók, hogy új összeadandónak egy-egy olyan

E

-nyi szakaszt veszünk, melynek iránya

L

valamelyik oldalának iránya, ill.

H

oldaláé, vagy ezzel

30^{\circ}

-os szöget zár be. (Ez a lehetőség a középpontos pályáknál is fennáll.)

Holop András (Budapest, Petőfi S. g. III. o. t.)

¹Az összegtartomány fogalmát lásd a következő cikkben: Kárteszi Ferenc: Négyzetekkel burkolt konvex alakzatok. KML. XVIII. kötet, 1. sz. 4. o. (1959. január). ‐ Egy olyen ‐ középpont nélküli ‐ pályát mutat az 548. gyakorlat alsó ábrája, XIX. kötet 3‐4. sz. 160. o. (1959. november).