A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A pályák zártságához szükséges, hogy egy körüljárásuk alatt a vonat irányváltozása legyen. Ez éppen elérhető, ha valamennyi görbe sínegységet felhasználjuk, éspedig valamennyit ugyanazon irányú kanyarodással. A feladat nem mondja ki, hogy valamennyi sínt be kell-e építeni, mégis a játék természetéből nyilvánvaló, hogy a játékosnak ,,joga van'' a kihagyásra; de, mint látjuk, csak egyenes síneket mellőzhet. Szimmetriaközéppont létezése folytán a pálya bármely csatlakozási pontja és ennek tükörképe a pályát két egybevágó, egymáshoz képest -kal elforgatott félpályára osztja, ezért elég az első félpálya összeállítási lehetőségeit meghatároznunk. Ennek feltétlenül tartalmaznia kell 6 görbe sínegységet (), lehet benne továbbá legfeljebb 4 egyenes egység (). Egy félpályát az egymás utáni sínegységek rövidítésével pl. így adhatunk meg: vagy még rövidebben: . De ugyanezt a teljes pályát adja ‐ csupán más kettéosztó pontokkal ‐ pl. az és ‐ ellentétes irányban haladva ‐ pl. a leírás is (vagyis az utóbbi a pálya tengelyes tükörképét adja meg). Így kérdésünkre a választ a és legfeljebb betűből összeállítható különböző betűsorok felírásával és megszámlálásával adhatjuk meg, de ki kell zárnunk a fenti példa szerinti ismétlődéseket. Állapodjunk meg evégett a következőkben: 1) egymás utáni egynemű egységek feltétlenül , ill. alakban rövidítendők (tehát a második leírási példa nem használható); 2) a leírás elején álljon (eszerint, ha van még egy betű, akkor az utolsó betű ); 3) több -,,hatvány'' közül a legnagyobb ,,kitevőjű'' veendő az első helyre; ha több ilyen van, akkor az első után ne álljon -nek kisebb hatványa, mint a leírás végén. Így az alábbi táblázatba foglalt félpályákat kapjuk; ebben a | | rendezés két szempontja: 1) hány van a félpályában: ; 2) ezek hány összefüggő szakaszt alkotnak: ; természetesen . A táblázat egymás utáni sávjaiban , , , , különböző leírás szerepel, és könnyű belátni, hogy nem lehetséges további leírás. Így a szimmetriaközépponttal bíró lehetséges pályák száma 29. Nyilvánvaló, hogy ha egy pályának van szimmetriatengelye, akkor az átmegy az középponton és az -n át rá merőlegesen álló egyenes is szimmetriatengely. Lehetséges 2, 3 ilyen tengelypár is, azaz 4, ill. 6 tengely ‐ mert 4 és 6 osztói 12-nek, a egységek számának ‐; de 12 tengely már nem, mert ehhez legalább 12 -sín, kellene. Tengely létezése a pályaleírásokból rajz nélkül is felismerhető: akkor és csak akkor létezik tengely, ha a teljes leírásnak ‐ miután azt egy kör kerületére írtuk, bárhonnét kezdett fordított sorrendű leolvasása önmagával azonos. Pl. -nek 2, -nek 4 tengelye van, hasonlóan -nak 6 tengelye (a táblázaton , , ). Az -nélküli pálya kör, számtalan sok tengelye van. A pályák megrajzolásához célszerű előre kitűzni a középpontok rendszerét. Ez olyan 8-, 6-, 4-szög, esetleg egyenesszakasz (2-szög), kivételesen egyetlen pont (a fenti jelöléssel 2 -szög), mely ugyancsak tükrös a pálya szimmetriaközéppontjára és esetleges tengelyeire nézve, oldalai rendre annyi hosszával egyenlők, ahány egymás utáni -egység szerepel a pályában (kerülete egység), külső szögei pedig rendre a -nak annyiszorosai, ahány egymás utáni szerepel. A pályákat a összegtartományok kerületei adják, ahol az -nélküli körpályát jelenti. A -rendszerek az 1. ábrán láthatók. 1. ábra Vannak középpont nélküli pályák is (2. ábra), legegyszerűbb az, amelynek -rendszere 1, vagy 2 -nyi oldalú szabályos háromszög. 2. ábra Ugyancsak hármas forgási szimmetriát és három tengelyt mutat az rendszer, a továbbiak ezekből tartományösszegezéssel úgy kaphatók, hogy új összeadandónak egy-egy olyan -nyi szakaszt veszünk, melynek iránya valamelyik oldalának iránya, ill. oldaláé, vagy ezzel -os szöget zár be. (Ez a lehetőség a középpontos pályáknál is fennáll.)
Holop András (Budapest, Petőfi S. g. III. o. t.) |
Az összegtartomány fogalmát lásd a következő cikkben: Kárteszi Ferenc: Négyzetekkel burkolt konvex alakzatok. KML. XVIII. kötet, 1. sz. 4. o. (1959. január). ‐ Egy olyen ‐ középpont nélküli ‐ pályát mutat az 548. gyakorlat alsó ábrája, XIX. kötet 3‐4. sz. 160. o. (1959. november). |