A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az háromszög derékszögű, és ennek magassága, ennélfogva ismert mértani középarányos tétel szerint , azaz , így , és a keresett függvény:
mert az húr sem negatív nem lehet, sem -nél nagyobb. Meg kell oldanunk az , másképpen egyenletet. Diszkriminánsa negatív, ha , ilyenkor nincs valós gyök. , azaz mellett a gyökök (-vel) | | mellett az kétszeres gyök teljesíti (2)-t. mellett a kisebb gyök addig pozitív: , amíg másképpen, mivel mindkét oldal pozitív | | A nagyobbik gyökre pedig addig áll, amíg | | Ezek szerint
A vizsgált függvény így is írható: A változó tag sohasem pozitív, y legnagyobb, ha x-2R/3=0, azaz x=2R/3, ekkor y=20R/3. Amíg x a 0-tól 2R/3-ig, nő, addig (3a) első tagjának alapja és a négyzet csökken, -3/2R-szerese növekszik, y növekszik, e szakaszon legkisebb értéke x=0-nál y=6R. Amíg x a 2R/3-tól 2R-ig nő, addig (3a) első tagjának alapja és a négyzet növekszik, -3/2R-szerese csökken, y csökken, legkisebb értéke x=2R-nél y=4R.
Ezek szerint az y=l egyenes a görbét [az (1) másodfokú függvényt ábrázoló parabolának a (2) intervallum fölötti ívét] l<4R és l>20R/3 esetén nem metszheti, mert az ívnek nincs l-ordinátájú pontja. 4R≤l<6R esetén egy pontban, 6R≤l<20R/3 esetén két pontban metszi, l=20R/3 esetén érinti, egy közös pontjuk van. Mindez valóban megfelel a (3) diszkussziójában találtaknak. A maximális y-t adó xm=2R/3 értékkel az AOM1=α szög hegyes szög, mert xm<R folytán M1 a félkörív A-tól számított első harmadán fekszik, α<60∘. Ehhez cosα=H1O/M1O=(H1B-OB)/R-ből HB fenti kifejezésével H1B-OB=R-xm2/2R=7R/9; így cosα=7/9, sinα=42/9, tgα=42/7 és ctgα=7/42.
Mihályffy László (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.) |
|