Feladat:	979. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató P. ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Csanak Gy. ,  Czékus L. ,  Fritz J. ,  Hadik Z. ,  Hahn J. ,  Hajna J. ,  Halász G. ,  Holop A. ,  Jahn A. ,  Kéry G. ,  Kiss Ádám ,  Kolonits F. ,  Komlóssy Gy. ,  Losonczi L. ,  Máté A. ,  Máté Zs. ,  Mezey F. ,  Mihályffy László ,  Muszély Gy. ,  Nagy Ákos ,  Parti Enikő ,  Pósch Margit ,  Raisz Klára ,  S. Nagy Erzsébet ,  Sós T. ,  Tihanyi A. ,  Várady G. ,  Zeke A.
Füzet:	1960/február, 56 - 58. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/május: 979. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az $ABM$ háromszög derékszögű, és $HM$ ennek magassága, ennélfogva ismert mértani középarányos tétel szerint $B{M}^2=AB\cdot HB$, azaz $4R^2-x^2=2R\cdot HB$, így $HB=2R-x^2/2R$, és a keresett függvény: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle y=2x+3\left(2R-\frac{x^2}{2R}\right)=-\frac{3}{2R}{x}^2+2x+6R\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 0\le x\le 2R\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ mert az $x$ húr sem negatív nem lehet, sem $AB=2R$-nél nagyobb. Meg kell oldanunk az $y=l$, másképpen $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{3}{2R}{x}^2+2x+\left(6R-l\right)=0}\end{array}$ (3) egyenletet. Diszkriminánsa $\begin{array}{c}{\displaystyle D=4+\frac{6}{R}\left(6R-l\right)=\frac{2}{R}\left(20R-3l\right)}\end{array}$ negatív, ha $l>20R/3$, ilyenkor nincs valós gyök. $D\ge 0$, azaz $l\le 20R/3$ mellett a gyökök ($x_1\le x_2$-vel) $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{1}{3}\left(2R-\sqrt[]{40R^2-6Rl}\right)\mathrm{,}{x}_2=\frac{1}{3}\left(2R+\sqrt[]{40R^2-6Rl}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $D=0$ mellett az $x_1=x_2$ kétszeres gyök teljesíti (2)-t. $D>0$ mellett a kisebb gyök addig pozitív: $0\le x_1$, amíg $\begin{array}{c}{\displaystyle 2R\ge \sqrt[]{40R^2-6Rl}\mathrm{,}}\end{array}$ másképpen, mivel mindkét oldal pozitív $\begin{array}{c}{\displaystyle 4R^2\ge 40R^2-6Rl\mathrm{,}\text{azaz}6Rl\ge 36R^2\mathrm{,}l\ge 6R\mathrm{.}}\end{array}$ A nagyobbik gyökre pedig $x_2\le 2R$ addig áll, amíg $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{40R^2-6Rl}\le 4R\mathrm{,}\text{amiből}24R^2\le 6Rl\mathrm{,}l\ge 4R\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek szerint ${\displaystyle \begin{array}{cccccccc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi><mo stretchy="false">></mo><mphantom><mn>11111</mn></mphantom><mn>20</mn><mi>R</mi><mo stretchy="false">/</mo><mn>3</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ mellett }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ nincs }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ olyan }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ húr, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ amelyre }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>l</mi></math>,}}\\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi><mo stretchy="false">=</mo><mphantom><mn>11111</mn></mphantom><mn>20</mn><mi>R</mi><mo stretchy="false">/</mo><mn>3</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ egy }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ olyan }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ húr van, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>l</mi></math>,}}\\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn><mi>R</mi><mo>≤</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>20</mn><mi>R</mi><mo stretchy="false">/</mo><mn>3</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ két }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>l</mi></math>,}}\\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><mi>R</mi><mo>≤</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false"><</mo><mphantom><mn>2</mn></mphantom><mn>6</mn><mi>R</mi></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">/</mo><mn>3</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{,,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ egy }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>l</mi></math>,}}\\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>11111</mn></mphantom></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi><mo stretchy="false"><</mo><mphantom><mn>2</mn></mphantom><mn>4</mn><mi>R</mi></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">/</mo><mn>3</mn></mphantom></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ ,, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ nincs }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ olyan }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ húr, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ amelyre }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>l</mi></math>.}}\\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>11111</mn></mphantom></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi><mo stretchy="false">=</mo><mphantom><mn>2</mn></mphantom><mn>6</mn><mi>R</mi></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mo stretchy="false">/</mo><mn>3</mn></mphantom></math>}}\hfill & \multicolumn{7}{c}{{\displaystyle \text{esetén <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></math>, így <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo>≡</mo><mi>A</mi></math>; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn><mi>R</mi></math> esetén <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn><mi>R</mi><mn>,</mn><mi>M</mi><mo>≡</mo><mi>B</mi></math>}}}\end{array}}$ A vizsgált függvény így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=-\frac{3}{2R}{\left(x-\frac{2R}{3}\right)}^2+\frac{20R}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ ($3a$) A változó tag sohasem pozitív, $y$ legnagyobb, ha $x-2R/3=0$, azaz $x=2R/3$, ekkor $y=20R/3$. Amíg $x$ a 0-tól $2R/3$-ig, nő, addig ($3a$) első tagjának alapja és a négyzet csökken, $-3/2R$-szerese növekszik, $y$ növekszik, e szakaszon legkisebb értéke $x=0$-nál $y=6R$. Amíg $x$ a $2R/3$-tól $2R$-ig nő, addig ($3a$) első tagjának alapja és a négyzet növekszik, $-3/2$R-szerese csökken, $y$ csökken, legkisebb értéke $x=2R$-nél $y=4R$.     Ezek szerint az $y=l$ egyenes a görbét [az (1) másodfokú függvényt ábrázoló parabolának a (2) intervallum fölötti ívét] $l<4R$ és $l>20R/3$ esetén nem metszheti, mert az ívnek nincs $l$-ordinátájú pontja. $4R\le l<6R$ esetén egy pontban, $6R\le l<20R/3$ esetén két pontban metszi, $l=20R/3$ esetén érinti, egy közös pontjuk van. Mindez valóban megfelel a (3) diszkussziójában találtaknak. A maximális $y$-t adó $x_m=2R/3$ értékkel az $AO{M}_1=\alpha$ szög hegyes szög, mert $x_m<R$ folytán $M_1$ a félkörív $A$-tól számított első harmadán fekszik, $\alpha <{60}^{\circ }$. Ehhez $\text{cos}\alpha =H_{1}O/M_{1}O=\left(H_{1}B-OB\right)/R$-ből $HB$ fenti kifejezésével $H_{1}B-OB=R-x_m^2/2R=7R/9$; így $\text{cos}\alpha =7/9$, $\text{sin}\alpha =4\sqrt[]{2}/9$, $\text{tg}\alpha =4\sqrt[]{2}/7$ és $\text{ctg}\alpha =7/4\sqrt[]{2}$.   Mihályffy László (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.)