|
Feladat: |
978. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Arató P. , Bartha L. , Bencsik I. , Bollobás B. , Csanak Gy. , Czékus L. , Fejes L. , Fischer A. , Flanek L. , Gáti P. , Gazsó Erzsébet , Hahn J. , Hajna J. , Halász Á. , Halász G. , Hegedűs I. , Hegedűs Katalin , Hegyi László , Holop A. , Kéry G. , Kiss Ádám , Klimó J. , Kolonits F. , Komlóssy Gy. , Kovács Margit , Losonczi L. , Máté Zs. , Mezey F. , Mihályffy L. , Molnár E. , Muszély Gy. , Náray M. , Nováky A. , Parti Enikő , Pósch Margit , Raisz Klára , Sós T. , Szűcs J. , Tihanyi A. , Tusnády G. , Várady G. , Zeke A. |
Füzet: |
1960/február,
55 - 56. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/május: 978. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egyenletünk bal oldalának nincs (valós) értelme, ha bármelyik négyzetgyök jel alatt negatív szám áll. Ez akkor és csak akkor következik be, ha akár az , , akár az , tényezőpár ellentett előjelű, vagyis ha akár 1 és 2 közé, akár 3 és 4 közé esik: , vagy . ‐ Első egyenletünk második tagját a jobb oldalra áttéve, majd az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve | | A jobb oldalon csak a négyzetgyökös kifejezést hagyva, majd ismét négyzetre emelve és rendezve
Innen látjuk, hogy ‐ mivel átalakításaink során gyök nem veszhetett el ‐ egyenletünket - on és -n kívül más szám nem elégítheti ki. Ezek nem kizárt értékek, és a behelyettesítés mutatja, hogy mindkettő gyöke az egyenletnek. Ezzel megkaptuk a megoldást. Második egyenletünkben hosszas vizsgálatra vezetne az a kérdés, hogy , , , mely értékrendszerei mellett van az egyenletnek valós értelme. Ezt az -et tartalmazó bal oldali tagok esetére majd a szóba jövő gyökök helyén vizsgáljuk. A jobb oldali állandó számról azonban máris feltesszük, hogy valós, vagyis .
Vegyük észre, hogy mellett egyenletünk -re egyszerűsödik, és ennek esetén minden és közé eső szám megoldása, beleértve -t és -et is (lásd az ábrát), esetén pedig az egyetlen gyök; másrészt, hogy esetén a bal oldal két tagja egyenlő, és a jobb oldalon 0 áll, így a gyökök , , hacsaknem , amely esetet már láttunk. Feltehetjük most már, hogy és . A fentihez hasonlóan rendezés, első négyzetreemelés és átrendezés után | | újabb négyzetreemeléssel és átrendezéssel
Eszerint gyökökként csak és jöhetnek szóba. Mindkettő kielégíti az egyenletet, mert behelyettesítve a bal oldal egyik tagja 0, másik tagja pedig egyenlő a jobb oldali (valós) számmal. Első egyenletünk a másodiknak speciális esete , , értékekkel.
Hegyi László (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. III. o. t.) |
|
|