|
Feladat: |
977. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató P. , Bartha L. , Bollobás B. , Fejes L. , Fritz J. , Halász G. , Jahn A. , Kolonits F. , Losonczi L. , Mezey Ferenc , Mihályffy L. , Parti Enikő , Pósa L. , Pósch Margit , Raisz Klára |
Füzet: |
1960/február,
54 - 55. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Egész együtthatós polinomok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/május: 977. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kifejezésünk mindkét tagja ,,teljes köb'' (egész együtthatós racionális egész kifejezés köbe): , . Ennélfogva próbálhatunk olyan megoldást keresni, amelyben a két kéttagú kifejezés egyik-egyik tagja , ill. , vagyis olyan (-tól különböző) és egytagút, amellyel áll: | | (1) | vagyis kifejtve: | | () | Próbálkozzunk olyan és -vel, amely változóként , -nak csak pozitív egész kitevős hatványait tartalmazza. Ekkor az első háromtagú -nak biztosan növekvő hatványai szerint van rendezve, és a második zárójel tagjai is vagy növekvő vagy csökkenő rendben tartalmazzák egy-egy hatványát, mert a 2-ik, és a 3-ik tag változó része az előtte állónak egyaránt -szerese. Így az azonossághoz szükséges, hogy a két középső tag egymásnak -szerese legyen: | | (2) | Eszerint már lehetetlen, hogy a második zárójel tagjai csökkenő hatványai szerint legyenek rendezve, mert ez a feltevés révén -re és -re vezet, ezért (2) az és -nak csak bizonyos értékpárjaira teljesülhet, és így (1) nem állhat fenn , bármely értékpárjára. A másik lehetőség, a | | egyenlőségek nem vezetnek (2)-vel ellentmondásra, mert megfelelő oldalaik összeszorzásából adódik, és ez (2)-nek következménye. Eszerint pl. (4) elhagyható. Most már -nek (3)-ból vett kifejezését (2)-be téve kapjuk: , és így . Mindkét megoldás megfelel követelményeinknek, ugyanis
Mezey Ferenc (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t) |
|
|