Kezdőlap


Feladat:	977. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató P. , Bartha L. , Bollobás B. , Fejes L. , Fritz J. , Halász G. , Jahn A. , Kolonits F. , Losonczi L. , Mezey Ferenc , Mihályffy L. , Parti Enikő , Pósa L. , Pósch Margit , Raisz Klára
Füzet:	1960/február, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/május: 977. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kifejezésünk mindkét tagja ,,teljes köb'' (egész együtthatós racionális egész kifejezés köbe): $x^{12} = {(x^{4})}^{3}$ , $- 3^{6} y^{12} = {(- 3^{2} y^{4})}^{3}$ . Ennélfogva próbálhatunk olyan megoldást keresni, amelyben a két kéttagú kifejezés egyik-egyik tagja $x^{4}$ , ill. $- 3^{2} y^{4}$ , vagyis olyan ( $0$ -tól különböző) $Z$ és $V$ egytagút, amellyel áll:

\begin{matrix} {(x^{4} + Z)}^{3} + {(V - 3^{2} y^{4})}^{3} \equiv x^{12} - 3^{6} y^{4}, \end{matrix}

(1)

vagyis kifejtve:

\begin{matrix} (3 x^{8} Z + 3 x^{4} Z^{2} + Z^{3}) + (V^{3} - 3^{3} V^{2} y^{4} + 3^{5} V y^{8}) \equiv 0. \end{matrix}

(

1 a

)

Próbálkozzunk olyan

Z

és

V

-vel, amely változóként

x

y

-nak csak pozitív egész kitevős hatványait tartalmazza. Ekkor az első háromtagú

y

-nak biztosan növekvő hatványai szerint van rendezve, és a második zárójel tagjai is vagy növekvő vagy csökkenő rendben tartalmazzák

y

egy-egy hatványát, mert a 2-ik, és a 3-ik tag változó része az előtte állónak egyaránt

y^{4} / V

-szerese. Így az azonossághoz szükséges, hogy a két középső tag egymásnak

- 1

-szerese legyen:

\begin{matrix} 3 x^{4} Z^{2} = 3^{3} V^{2} y^{4}, másképpen Z^{2} / V^{2} = 3^{2} y^{4} / x^{4} . \end{matrix}

(2)

Eszerint már lehetetlen, hogy a második zárójel tagjai

y

csökkenő hatványai szerint legyenek rendezve, mert ez a feltevés

Z^{3} = - V^{3}

révén

Z^{3} / V^{3} = - 1

-re és

Z^{2} / V^{2} = 1

-re vezet, ezért (2) az

x

és

y

-nak csak bizonyos értékpárjaira teljesülhet, és így (1) nem állhat fenn

x

y

bármely értékpárjára. A másik lehetőség, a

\begin{matrix} (3) 3 x^{8} Z = - V^{3} és (4) Z^{3} = - 3^{5} V y^{8} \end{matrix}

egyenlőségek nem vezetnek (2)-vel ellentmondásra, mert megfelelő oldalaik összeszorzásából

Z^{4} / V^{4} = 3^{4} y^{8} / x^{8}

adódik, és ez (2)-nek következménye. Eszerint pl. (4) elhagyható.
Most már

Z

-nek (3)-ból vett kifejezését (2)-be téve kapjuk:

V = \pm 3 x^{3} y

, és így

Z = \mp 3^{2} x y^{3}

.
Mindkét megoldás megfelel követelményeinknek, ugyanis

\begin{matrix} x^{12} - 3^{6} y^{12} \equiv {(x^{4} - 3^{2} x y^{3})}^{3} + {(3 x^{3} y - 3^{2} y^{4})}^{3} \equiv {(x^{4} + 3^{2} x y^{3})}^{3} + {(- 3 x^{3} y - 3^{2} y^{4})}^{3} . \end{matrix}

Mezey Ferenc (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t)