Kezdőlap


Feladat:	975. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár A. , Angyal J. , Baticz Kinga , Bódis J. , Bollobás B. , Czinege I. , Dániel G. , Durst I. , Flanek L. , Gazsó Erzsébet , Gergelics L. , Holop A. , Kéry G. , Klimó J. , Kohut M. , Kolonits F. , Losonczi L. , Mezey F. , Mihályffy L. , Molnár E. , Muszély Gy. , Náray M. , Parti Enikő , Pollai Marion , Raisz Klára , S. Nagy Erzsébet , Tihanyi A. , Tusnády G. , Várady G. , Windisch A. , Wórum I. , Zeke A. , Zenkl Edit
Füzet:	1960/február, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 975. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak azzal a feltevéssel adhatunk választ, hogy a víz a megdöntés után is ellepi a pohár fenekét. A pohár $r$ sugarát abból számítjuk, hogy a vízfelszín középpontjának a pohárhoz viszonyított helyzete döntés közben nem változik, a döntés utáni, ellipszis alakú felszín középpontja egybeesik az eredeti körfelszín középpontjával. Hogy ezt belássuk, gondoljuk, hogy a pohár eredetileg éppen félig van vízzel, és fönt a fenékhez hasonlóan le van zárva. Így a megdöntés előtt a pohár és benne a víz és a levegő középponti szimmetriával bíró olyan rendszert alkot, amelyben minden vízmolekula tükörképe helyén levegő van és megfordítva, és a víz‐levegő határfelület átmegy a középponton. Mivel a megdöntéssel a térfogatok nem változnak és a határfelület ismét vízszintes sík, azért át kell mennie a szimmetriaközépponton.

Most már a bizonyított állítás szerint

m_{2} = r sin α + m_{1} cos α

, innen

r = (m_{2} - m_{1} cos α) / sin α

, és így a víz térfogata

V = π m_{1} {(m_{2} - m_{1} cos α)}^{2} / sin^{2} α

. Képletünk a módosult esetben is érvényes, ha benne a magasságokat a víz legmélyebb pontjáról értjük. Ennek magassága az asztallap felett

M_{1} = d_{1}

, ill.

M_{2} = d_{1} cos α + d_{2} sin α

, ennélfogva

m_{1}

m_{2}

helyére

m_{1}' = m_{1} - d_{1}

, ill.

m_{2}' = m_{2} - d_{1} cos α - d_{2} sin α

lép, a sugár kifejezésében szereplő

m_{2} - m_{1} cos α

különbség helyére pedig

m_{2}' - m_{1}' cos α = m_{2} - m_{1} cos α - d_{2} sin α

, tehát

r' = (m_{2} - m_{1} cos α - d_{2} sin α) / sin α = r - d_{2}

, ami várható is volt. Így a térfogat

V' = π (m_{1} - d_{1}) {(m_{2} - m_{1} cos α - d_{2} sin α)}^{2} / sin^{2} α

.
A számpéldákban

r = 27, 8 mm

és

V = 97, 1 {cm}^{3}

, ill.

r' = 24, 8 mm

V' = 63, 7 {cm}^{3}

(nem érdemes háromnál több értékes jegyet kiírni, talán még ez is sok, mert az adatok is csak két, sőt a módosító adatok csak egy értékes jegyet tartalmaznak.)

Zenkl Edit (Budapest, Építőanyagipari techn. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Sok dolgozat a számadatokkal csak

V'

-t számította ki, pedig általános eredmények utáni számpéldák nyilván lehetőleg minden lehetséges helyen alkalmazandók.

V

és

V'

összehasonlítása éppen azt célozza, hogy lássuk, a valósághoz való ilyen kis közeledés milyen, mértékben módosítja az egyszerűsítéssel kapott eredményeket (itt pl.

V' \approx 2 V / 3

), másrészt hogy (megfelelő egyszerűsítéssel) a módosító körülmények figyelembe vétele sem nehéz.
2.

M_{2}

és

m_{2}

kifejezése lényegében a koordinátarendszer elforgatását jelenti.