Kezdőlap


Feladat:	974. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató P. , Bódis J. , Bollobás B. , Csizmadia B. , Czékus L. , Dániel G. , Dávid Gábor , Durst I. , Farkas Gy. , Fejes L. , Flanek L. , Fritz J. , Gaál S. , Halász Á. , Halász G. , Hegedűs I. , Holop A. , Horváth Sándor , Jahn A. , Katona Mária , Kéry G. , Kiss Ádám , Klimó J. , Knuth E. , Kohut M. , Kolonits F. , Máté A. , Máté E. , Máté Zs. , Mezey F. , Mihályffy L. , Molnár E. , Muszély Gy. , Nagy Ákos , Náray-Szabó G. , Parti Enikő , Pósch Margit , S. Nagy Erzsébet , Székely J. , Szűcs J. , Tihanyi A. , Tusnády G. , Várady G.
Füzet:	1960/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Köréírt alakzatok, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 974. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Forgatás közben az $R$ idom bármely helyzetben négy ponton érintkezik a $K$ kerettel, ennek mindegyik oldalán egy pontban. Nyilvánvaló, hogy $R$ kerületének minden pontja érintkezésbe jut $K$ -val, fordítva azonban nem, pl. $K$ csúcsai és egy bizonyos környezetük nem jutnak érintkezésbe $R$ -rel. De ha $K$ egy oldalának $D$ és $E$ pontja érintkezhet $R$ -rel, akkor a $D E$ szakasz minden pontja érintkezhet. Ezért a kérdést úgy is feltehetjük, hogy mekkorák $K$ oldalainak azon szakaszai, amelyek nem érintkezhetnek $R$ -rel, mekkora az a legrövidebb távolság, amennyire az érintkezési pont lehet $K$ csúcsaitól. ‐ Célszerűbb a folyamatot úgy követni, hogy $K$ -t forgatjuk az álló $R$ körül, így ugyanis $K$ négyes forgási szimmetriáját kényelmesebben kihasználhatjuk, mint $R$ hármas forgási szimmetriáját. Elegendő a mozgást pl. addig figyelni, amíg $K$ -nak $S T$ oldala a $B C$ -vel párhuzamos helyzetből $+ 90^{\circ}$ elfordulással $B C$ -re merőleges helyzetbe, $T U$ helyére jut, felírni $S T$ és $T U$ érintési pontjának, $S^{*}$ -nak és $U^{*}$ -nak $T$ -től való távolságát, mint $B C$ és az $S T$ oldal $φ$ hajlásszögének függvényét, amíg $0^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ}$ .

Amíg

0^{\circ} \leq φ \leq 30^{\circ}

, addig ábránk jelöléseivel

S^{*}

A

középpontú

B_{2} C_{1}

ív

C_{1}

oldalán levő felének egy pontjában érinti

R

-t, majd

30^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ}

mellett a

C

-közepű

C_{1} C_{2}

ív egy pontjában;

U^{*}

pedig

0^{\circ} \leq φ \leq 60^{\circ}

-ig a

B

közepű

C_{2} A_{1}

íven,

60^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ}

-ig az

A

-közepű

A_{1} A_{2}

íven érinti

R

-et. A

T S^{*}

hosszát a

T U

oldal állása szabja meg, a

T U^{*}

-ét pedig az

S T

-é, ezért a keresett hosszakat a

(0^{\circ}, 30^{\circ})

(30^{\circ}, 60^{\circ})

(60^{\circ}, 90^{\circ})

intervallumokra külön-külön kell megállapítanunk.
I.

0^{\circ} \leq φ \leq 30^{\circ}

mellett

S T ⊥ A S^{*}

és

T U ⊥ B U^{*}

, azért

\begin{matrix} T S^{*} = U^{*} M = U^{*} B - M B = (a + r) - a sin (30^{\circ} + φ) és \\ T U^{*} = S^{*} M = S^{*} A - M A = (a + r) - a cos (30^{\circ} + φ) . \end{matrix}

T S^{*}

legkisebb értéke

φ = 30^{\circ}

-nál adódik, amikor a levonandó

M B

a legnagyobb, mert

30^{\circ} \leq 30^{\circ} + φ \leq 60^{\circ}

sin (30^{\circ} + φ)

φ

szóban forgó értékeire növekvő és

T S_{{min}_{}^{}}^{*} = r + a (1 - \sqrt[]{3} / 2) = p

; ugyanennyi

T U_{{min}_{}^{}}^{*}

is,

φ = 0^{\circ}

mellett, mert a cosinus függvény a vizsgált intervallumban csökkenő.
II.

30^{\circ} \leq φ \leq 60^{\circ}

mellett

S T ⊥ C S^{*}

, és még mindig

T U ⊥ B U^{*}

, így

\begin{matrix} T S^{*} = U^{*} N = (a + r) - a cos φ, \end{matrix}

φ = 30^{\circ}

-kal

T S_{{min}_{}^{}}^{*} = p

, másrészt

\begin{matrix} T U^{*} = S^{*} C + C N = r + a sin φ \end{matrix}

és

T U_{{min}_{}^{}} = r + a / 2 = q

, ugyancsak

φ = 30^{\circ}

-kal, mert így a legkisebb a hozzáadandó tag.
A

φ = 30^{\circ}

eset az I. és II. intervallumok közös határpontja; eszerint a

φ = 30^{\circ}

helyzet környezetében

S^{*}

S T

oldal

S_{0}

felezőpontjától közeledik

T

-hez, majd visszafordul

S_{0}

felé. Ugyanekkor

q = (a + 2 r) / 2

, vagyis

U^{*}

T U

oldal

U_{0}

felező pontjába esik (ez nyilván nem bizonyul majd valamennyi lehetséges érték legkisebbikének), és

U^{*}

T

-től

U

felé halad.
III. Végül

60^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ}

mellett változatlanul

S T ⊥ C S^{*}

, de már

T U ⊥ A U^{*}

, így

\begin{matrix} T S^{*} = U^{*} P = U^{*} A + A P = r + a sin (φ - 30^{\circ}), \end{matrix}

és

T S_{{min}_{}^{}}^{*} = q

, mert

30^{\circ} \leq φ - 30^{\circ} \leq 60^{\circ}

folytán

A P

akkor a legkisebb, ha

φ - 30^{\circ} = 30^{\circ}

φ = 60^{\circ}

. (

S^{*}

S_{0}

-tól

S

felé halad.) Másrészt

\begin{matrix} T U^{*} = S^{*} P = S^{*} C + C P = r + a cos (φ - 30^{\circ}), \end{matrix}

és

T U_{{min}_{}^{}}^{*} = q

, mert

C P_{{min}_{}^{}}

φ = 90^{\circ}

mellett áll elő

(U^{*} \equiv U_{0})

T S^{*}

és

T U^{*}

egymás után adódott

p

p

q

, ill.

p

q

q

legkisebb értékei közül

p

kisebb, mert

1 - \sqrt[]{3} / 2 < 1 / 2

T U_{{min}_{}^{}}^{*}

egyszersmind

S S^{*}

legkisebb értékét is adja, így az

S T

oldal (és bármelyik oldal) súrolt szakaszának hossza

S T - 2 p = (a + 2 r) - 2 r - a (2 - \sqrt[]{3}) = a (\sqrt[]{3} - 1)

, független

r

-től.

Dávid Gábor (Székesfehérvár, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzések. Haladhattunk volna

T S^{*}

és

T U^{*}

legnagyobb értékeit megkeresve is. ‐ Számos dolgozat nem indokolta a forgatási folyamattal, miért tekint három esetet: amikor

S T

és

T U

mindegyike

R

-nek

a + r

sugarú (,,nagy'') ívét érinti, vagy mindkettő ,,kicsit'' ‐ vagy egyik nagyot, a másik kicsit ‐ bár több típus valóban nem lehetséges.