Feladat: 973. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató P. ,  Bartha L. ,  Bencsik I. ,  Bódi J. ,  Bollobás B. ,  Csizmadia B. ,  Czékus L. ,  Dániel G. ,  Durst I. ,  Fejes László ,  Fritz J. ,  Grüner Gy. ,  Hajna J. ,  Halász Á. ,  Halász G. ,  Hegedűs I. ,  Katona Mária ,  Kéry G. ,  Kiss Ádám ,  Klimó J. ,  Kohut M. ,  Kolonits F. ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Máté Zs. ,  Mezey F. ,  Mihályffy L. ,  Mocskónyi M. ,  Molnár E. ,  Muszély Gy. ,  Náray-Szabó G. ,  Pálmai Gy. ,  Parti Enikő ,  Pósch Margit ,  S. Nagy Erzsébet ,  Székely J. ,  Szücs J. ,  Tihanyi A. ,  Tomcsányi Gy. ,  Tusnády G. ,  Várady G. ,  Zeke A. 
Füzet: 1960/január, 25 - 26. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Köréírt alakzatok, Négyzetek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/április: 973. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a d leghosszabb átló A és B végpontjaiban d-re állított t1, t2 merőlegeseket. Ezek a P poligon egy d szélességű támaszsávját adják, mert e sávon kívül nem lehet P-nek pontja (pl. t2-nek a t1-gyel ellentétes oldalán), hiszen akkor ott egy C csúcsa is volna, és így az AC átló hosszabb lenne AB=d-nél.

 
 

Tekintsük most P-nek a t1-re merőleges t3, t4 támaszegyeneseit. Ezek távolsága ugyancsak d, mert P négyzetekkel burkolható, minden támasztéglalapja négyzet. P-nek van pontja t3-on legyen egy ilyen pont D és legyen ennek merőleges vetülete t4-en E. Állítjuk, hogy E csúcspontja P-nek, és így DE olyan átló, amilyennek a létezését bizonyítani feladatunk. Valóban, t4-en van pontja P-nek, mert t4 támaszegyenes, legyen egy ilyen: F. Ez határpontja P-nek, mert egy idom támaszegyenesén nem fekhet az idomnak belső pontja. Eszerint F vagy csúcsa P-nek, vagy belső pontja P egy GH oldalának. Az utóbbi eset lehetetlen, mert akkor G és H is t4-en van, és így DG és DH közül legalább az egyik nagyobb d-nél. Ugyanezért F P-nek csúcsa is csak úgy lehet, ha azonos E-vel.
Ezzel az állításnál többet is bizonyítottunk: t4-en (és ugyanígy t3, t1, t2-n is) P-nek pontosan egy pontja van és ezért a d-re merőleges, d hosszúságú átlója pontosan egy van, nincs P-nek a d-átlókra merőleges oldala.
 

Fejes László (Makó, József A. g. III. o. t.)