|
Feladat: |
973. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató P. , Bartha L. , Bencsik I. , Bódi J. , Bollobás B. , Csizmadia B. , Czékus L. , Dániel G. , Durst I. , Fejes László , Fritz J. , Grüner Gy. , Hajna J. , Halász Á. , Halász G. , Hegedűs I. , Katona Mária , Kéry G. , Kiss Ádám , Klimó J. , Kohut M. , Kolonits F. , Máté A. , Máté E. , Máté Zs. , Mezey F. , Mihályffy L. , Mocskónyi M. , Molnár E. , Muszély Gy. , Náray-Szabó G. , Pálmai Gy. , Parti Enikő , Pósch Margit , S. Nagy Erzsébet , Székely J. , Szücs J. , Tihanyi A. , Tomcsányi Gy. , Tusnády G. , Várady G. , Zeke A. |
Füzet: |
1960/január,
25 - 26. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Köréírt alakzatok, Négyzetek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/április: 973. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a leghosszabb átló és végpontjaiban -re állított , merőlegeseket. Ezek a poligon egy szélességű támaszsávját adják, mert e sávon kívül nem lehet -nek pontja (pl. -nek a -gyel ellentétes oldalán), hiszen akkor ott egy csúcsa is volna, és így az átló hosszabb lenne -nél.
Tekintsük most -nek a -re merőleges , támaszegyeneseit. Ezek távolsága ugyancsak , mert négyzetekkel burkolható, minden támasztéglalapja négyzet. -nek van pontja -on legyen egy ilyen pont és legyen ennek merőleges vetülete -en . Állítjuk, hogy csúcspontja -nek, és így olyan átló, amilyennek a létezését bizonyítani feladatunk. Valóban, -en van pontja -nek, mert támaszegyenes, legyen egy ilyen: . Ez határpontja -nek, mert egy idom támaszegyenesén nem fekhet az idomnak belső pontja. Eszerint vagy csúcsa -nek, vagy belső pontja egy oldalának. Az utóbbi eset lehetetlen, mert akkor és is -en van, és így és közül legalább az egyik nagyobb -nél. Ugyanezért -nek csúcsa is csak úgy lehet, ha azonos -vel. Ezzel az állításnál többet is bizonyítottunk: -en (és ugyanígy , , -n is) -nek pontosan egy pontja van és ezért a -re merőleges, hosszúságú átlója pontosan egy van, nincs -nek a -átlókra merőleges oldala.
Fejes László (Makó, József A. g. III. o. t.) |
|
|