A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adott , pontokon átmenő körök középpontjainak mértani helye éppen a kérdéses felező merőleges, így minden ilyen körnek szimmetria-tengelye. Ezért minden egyes körnek két olyan , pontja van, amely legtávolabb van -től, ezek is -re tükrös párok, így a keresett mértani helynek is tengelye. , -t minden egyes körben az -re merőleges átmérő metszi ki.
Másrészt az is nyilvánvaló, hogy a mértani helynek az egyenes is tengelye, ezért célszerű -et és -t választani koordinátarendszerünk , ill. -tengelyének. Legyen ennek megfelelően és . A középpont körüli sugarú kör egyenlete: . Ez a kör akkor és csak akkor megy át -n és -n, ha . Eszerint a vizsgálandó körök egyenlete: , ahol paraméter. A legtávolabbi pontokat kimetsző egyenes egyenlete , így , abszcisszái: , közös ordinátájuk: . Ezzel megkaptuk a keresett mértani hely paraméteres egyenletrendszerét. kiküszöbölésével kapjuk, hogy a mértani hely minden pontja rajta van azon a vonalon, amelynek egyenlete: , másképpen . Ez az az egyenlő oldalú hiperbola, amelynek a valós tengelye az szakasz. A keresett mértani hely minden pontját akkor kapjuk meg, ha -ként valamennyi pontját figyelembe vesszük, más szóval ha minden (valós) értéket felvesz. Eszerint a kapott hiperbola minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez: a mértani hely ez a hiperbola.
Alpár András (Veszprém, Lovassy L. g. III. o. t.) |
|