Kezdőlap


Feladat:	970. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csizmadia Béla
Füzet:	1960/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 970. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a sorozat első tagja $c$ , hányadosa $q$ , mindkettő pozitív. Azt kell megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} c (1 + q + q^{2} + ... + q^{n - 1}) \leq c n \frac{1 + q^{n - 1}}{2}, \end{matrix}

vagy

c / 2 (> 0)

-vel osztva és párokat alakítva

\begin{matrix} (1 + q^{n - 1}) + (q + q^{n - 2}) + ... + (q^{n - 1} + 1) \leq (1 + q^{n - 1}) . \end{matrix}

(1)

A bal oldalon

n

kéttagú áll, mindegyik

q^{k} + q^{n - k - 1}

alakú, ahol

k = 0, 1, 2, ...

n - 1

, és mindig érvényes

\begin{matrix} q^{k} + q^{n - k - 1} \leq 1 + q^{n - 1} . \end{matrix}

(2)

Ugyanis

0

-ra redukálással teljesül

\begin{matrix} 1 + q^{n - 1} - q^{k} - q^{n - k - 1} = (1 - q^{k}) (1 - q^{n - k - 1}) \geq 0, \end{matrix}

mert

q \neq 1

esetén a két tényező egyenlő előjelű,

q = 1

esetén pedig mindkettő

0

. Most már (2)-t

k

minden fenti értékére felírva és összeadva (1) adódik.

Csizmadia Béla (Székesfehérvár, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzések: 1. Nem használtuk ki az

n \geq 3

feltevést. Erre nincs is szükség, mert az állítás

n = 1

2

-re is igaz, ekkor ‐ továbbá

q = 1

esetén bármely

n

-re ‐ a sorozat összege egyenlő a számtani közép

n

-szeresével, tehát nem nagyobb nála.

n \geq 3

esetén van közbülső tag is, és így

q \neq 1

mellett az összeg kisebb, mint a közép

n

-szerese.
2. Többen arra hivatkoztak, hogy a sorozat tagjait az

y = c q^{x}

exponenciális függvény azon pontjai ábrázolják, amelyekre

x = 0, 1, 2, ..., n - 1

, és hogy minden exponenciális görbe domború, ha az

Y

-tengely mentén a növekvő

y

-ok irányában (röviden: alulról) nézzük. Ez azonban nem bizonyíték; a görbék domború vagy homorú voltát bizonyítani csak számviszonyok alapján lehet, miután több grafikon megrajzolásából sejtést alakítottunk ki magunkban, és esetleg a bizonyításhoz ötletet is kaptunk.
3. Az állítás teljes indukcióval is bizonyítható.