Kezdőlap


Feladat:	969. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bóné András , Deák Margit
Füzet:	1960/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 969. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számlálónak csak ${(35 - x^{3})}^{3} > 0$ , azaz $35 - x^{3} > 0$ , $x < \sqrt[3]{35}$ $(< 4)$ esetén van értelme. Ennélfogva a nevezőben $5 - x > 1$ , így $log (5 - x) > 0$ , tehát a nevező és a hányados értelmezve van. Szorzással:

\begin{matrix} log {(35 - x^{3})}^{3} = 9 log (5 - x) . \end{matrix}

Két (ugyanazon alapú) logaritmus egyenlőségéből következik, hogy a számok is egyenlők:

\begin{matrix} {(35 - x^{3})}^{3} = {(5 - x)}^{9} . \end{matrix}

(1)

(A valós számok körében) a köbgyökvonás egyértelmű (egy számnak csak egy köbgyöke van), ezért

\begin{matrix} 35 - x^{3} = {(5 - x)}^{3} = 125 - 75 x + 15 x^{2} - x^{3} és x^{2} - 5 x + 6 = 0, \end{matrix}

eszerint az egyenlet gyökei csak az

x_{1} = 2

x_{2} = 3

számok lehetnek. Mindkettő kielégíti mind a korlátozást, mind az egyenletet.

Deák Margit (Körmend, Kölcsey F. g. I. o. t.)

Megjegyzés: (1)-hez úgy is eljuthatunk, ha a bal oldalt a

{(35 - x^{3})}^{3}

kifejezés

5 - x

alapú logaritmusának tekintjük, majd figyelembe vesszük a logaritmus értelmezését:

\begin{matrix} {log}_{}^{5 - x} {(35 - x^{3})}^{3} = 9, {(5 - x)}^{9} = {(35 - x^{3})}^{3} . \end{matrix}

Bóné András (Budapest, József A. g. IV. o. t.)