Kezdőlap


Feladat:	968. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biborka T. , Bollobás B. , Budai Zsuzsanna , Czékus L. , Dániel G. , Dávid G. , Fejes L. , Gálfi l. , Hajna J. , Hegedűs I. , Hegyi L. , Jójárt I. , Kolonits F. , Losonczi L. , Marót Ildikó , Mezei F. , Mihályffy L. , Muszély Gy. , Müller M. , Parti Enikő , Pósch Margit , Raisz Klára , Rohrböck Krisztina , S.Nagy Erzsébet , Sós T. , Toldy-Ősz Mária , Tomcsányi Gy.
Füzet:	1960/január, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 968. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel az 555. gyakorlatban ¹ bebizonyított

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{n + 1} - 2 \sqrt[]{n} < \frac{1}{\sqrt[]{n}} < 2 \sqrt[]{n} - 2 \sqrt[]{n - 1} \end{matrix}

kettős egyenlőtlenséget az

n = 17161

17162

...

1 000 000

számokra:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{17 162} - 2 \sqrt[]{17 161} < 1 / \sqrt[]{17 161} < 2 \sqrt[]{17 161} - 2 \sqrt[]{17 160} \\ 2 \sqrt[]{17 163} - 2 \sqrt[]{17 162} < 1 / \sqrt[]{17 162} < 2 \sqrt[]{17 162} - 2 \sqrt[]{17 161} \\ ... ... ... \\ 2 \sqrt[]{1 000 000} - 2 \sqrt[]{999 999} < 1 / \sqrt[]{999 999} < 2 \sqrt[]{999 999} - 2 \sqrt[]{999 998} \\ 2 \sqrt[]{1 000 001} - 2 \sqrt[]{1 000 000} < 1 / \sqrt[]{1 000 000} < 2 \sqrt[]{1 000 000} - 2 \sqrt[]{999 999} \end{matrix}

Mindezeket összeadva ,,középen'' a szóban forgó

S

összeg adódik, balról, ill. jobbról pedig csak két-két tagot kapunk, mert a

17 162

-től

1 000 000

-ig, ill.

17 161

-től

999 999

-ig terjedő természetes számok négyzetgyökének

2

-szerese kétszer-kétszer lép fel, ellentett jellel, így kiesik:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{1 000 001} - 2 \sqrt[]{17 161} < S < 2 \sqrt[]{1 000 000} - 2 \sqrt[]{17 160} . \end{matrix}

Itt két négyzetgyök egész eredményre vezet:

131

, ill.

1 000

, a másik kettőről pedig elég ennyit tudnunk:

\sqrt[]{17 160} > 130, 5

, ill.

\sqrt[]{1 000 001} > 1 000

(amit négyzetre emeléssel ellenőrizhetünk), helyettük ezeket a számokat írva a jobb oldalt nagyobb számmal pótoljuk, a bal oldalt pedig kisebbel, tehát az egyenlőtlenségek ,,erősebbekké válnak'':

\begin{matrix} 2 \cdot 1000 - 2 \cdot 131 < S < 2 \cdot 1000 - 2 \cdot 130, 5 \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 1738 < S < 1739. \end{matrix}

Ezzel a kérdéses összeget bezártuk két szomszédos természetes szám közé.

Budai Zsuzsanna (Budapest, Lorántffy Zs. uti lg. III. o. t.)

¹Lásd a megoldást KML XIX. kötet 135. o. 1959. november.