Kezdőlap


Feladat:	967. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató P. , Bollobás B. , Czékus L. , Dániel G. , Fritz J. , Grallert F. , Hajna J. , Halász Á. , Halász G. , Holop A. , Kiss Ádám , Klimó J. , Kolonits F. , Máté A. , Máté Zs. , Mihályffy L. , Molnár Emil , Muszély Gy. , Náray Miklós (Bp.) , Náray Szabó G. , Parti Enikő , Pósch Margit , Szücs J. , Tatai P. , Tomcsányi Gy. , Tusnády G. , Várady G.
Füzet:	1959/november, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/március: 967. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyításunkat síkbeli meggondolásokból állíthatjuk össze. Tekintsük az $E_{1}$ , $E_{2}$ egyenest és messük a $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g$ gömböket az $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O$ középpontjaikkal meghatározott $S$ síkkal, ha pedig a három középpont egy $e$ egyenesbe esik, akkor bármely az $e$ -n átmenő $S$ síkkal. $S$ mindegyik gömbből egy főkört metsz ki, legyen ez $k_{1}$ , $k_{2}$ , illetve $k$ . $E_{1}$ , $E_{2}$ az $O O_{1}$ , $O O_{2}$ egyenesen van, vagyis $S$ -ben, így $k$ érinti $k_{1}$ -et és $k_{2}$ -t, éspedig ugyanúgy belülről vagy kívülről, ahogyan $g$ érinti $g_{1}$ -et, $g_{2}$ -t.

Eszerint az

E_{1} E_{2}

egyenes egy pontja állandóságának kérdése éppen az, amit az 558. gyakorlatban^{$^{*}$} bebizonyítottunk, mert az állandó

H_{k}

, ill.

H_{b}

pont független

S

helyzetétől, hiszen

O_{1} O_{2}

-n van, ezt

S

minden helyzetében tartalmazza, és a középpontoktól való távolsága csak

O_{1} O_{2} = d

-től és a főkörök, vagyis a gömbök sugarától függ. Ezek szerint

H_{k}

H_{b}

a két gömb külső, illetve belső hasonlósági pontja. Hasonlók érvényesek az

E_{1} E_{3}

és

E_{2} E_{3}

egyenesekre.
Most már arra az állításunkban szereplő három pontra, amelyről meg kell mutatnunk, hogy egy egyenesre esnek, mindössze

6

pont jön számításba, a

g_{1}

g_{2}

g_{3}

-ból képezhető három pár külső és belső hasonlósági pontjai. Ezek az

O_{1} O_{2} O_{3} = S^{*}

síkban vannak, és egyszersmind az

S^{*}

-gal a gömbökből kimetszett főkörökből képezhető megfelelő pároknak is külső, illetve belső hasonlósági pontjai. Ezekről tudjuk,^{$^{*}$} hogy hármasával úgy feküsznek négy egyenesen, hogy egyiken a három külső hasonlósági pont van rajta, a továbbiak mindegyikén pedig két belső és egy külső hasonlósági pont, mindig úgy, hogy mindegyik egyenesen mind a három körpár egy-egy hasonlósági ponttal szerepel. Éppen ilyen ponthármasokat kapunk, ha áttekintjük a

g

és

g_{1}

g_{2}

g_{3}

külső vagy belső érintkezésének lehetséges eseteit. Ugyanis

g

vagy mind a három adott gömbbel ugyanolyan értelmű érintkezésben van, és ekkor az 558. gyakorlat eredménye szerint mindhárom gömbpár külső hasonlósági pontja szerepel a bizonyítandó állításban, vagy egyikkel, pl.

g_{1}

-gyel, ellentétes értelemben érintkezik, mint a másik kettővel, és ekkor a

g_{1}

g_{2}

és

g_{1}

g_{3}

gömbpárok belső és a

g_{2}

g_{3}

pár külső hasonlósági pontjáról kell bizonyítanunk, hogy egy egyenesbe esik. ‐ Ezzel bizonyításunkat befejeztük.
Ha

O_{1}

O_{2}

O_{3}

egy

t

egyenesbe esnek, akkor az említett négy egyenes mindegyike azonos

t

-vel.
Ha pl.

r_{1} = r_{2}

és

g

g_{1}

g_{2}

-t ugyanolyan értelemben érinti, akkor

E_{1} E_{2}

párhuzamos

O_{1} O_{2}

-vel, ellentétes értelmű érintés esetén pedig átmegy

O_{1} O_{2}

felezőpontján.

r_{1} = r_{2} = r_{3}

esetén ugyanezek állnak mindegyik gömbpárra.

Molnár Emil (Győr, Révai M. g. II. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd ezen számban 137. o.

^{$^{*}$}Lásd pl. KML. XIII. kötet, 2. sz. 49. o., 316. gyak. (1956. október), ábránk az ottaninak átvétele, ezért a jelölések mások.