Kezdőlap


Feladat:	962. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bürger Nándor , Kovács Margit
Füzet:	1959/november, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/március: 962. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek sorozatunk tagjai: $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ , különbségi sorozatának tagjai $d_{1}$ , $d_{2}$ , $...$ , $d_{n - 1}$ , ahol $d_{k} = a_{k + 1} - a_{k}$ . Ennek első kilenc tagja: $8$ , $6$ , $16$ , $10$ , $24$ , $14$ , $32$ , $18$ , $40$ . Mindegyik páros indexű különbség kisebb az előtte álló tagnál, és ( $d_{1}$ -et nem tekintve) mindegyik páratlan indexű nagyobb az előtte állónál, mert az ún. második különbségi sorozatban $(e_{k} = d_{k + 1} - d_{k})$ , $a - 2$ , $10$ , $- 6$ , $14$ , $- 10$ , $18$ , $- 14$ , $22$ tagok váltakozó előjelűek.
Erre támaszkodva tegyünk külön-külön próbát az eredeti sorozat páratlan és páros indexű tagjaival. Ezeket $a'$ , $a''$ -vel, a különbségi sorozatok tagjait $d'$ , $d''$ , $e'$ , $e''$ -vel jelölve:

\begin{matrix} \begin{matrix} a' : & 2, & 16, & 42, & 80, & 130 & a'' : & 10, & 32, & 66, & 112, & 170 \\ d' : & 14, & 26, & 38, & 50, & d'' : & 22, & 34, & 46, & 58 \\ e' : & 12, & 12, & 12 & e'' : & 12, & 12, & 12, \end{matrix} \end{matrix}

e'

és

e''

állandók, ezért a

d'

d''

tagok számtani sorozatok. Tegyük fel, hogy ez a szabályszerűség bármely sorszámú tagra fennáll. Eszerint:

\begin{matrix} a'_{k} = a_{2 k - 1} = a'_{1} + (d'_{1} + d'_{2} + ... + d'_{k - 1}) = a'_{1} + \frac{k - 1}{2} [2 d'_{1} + (k - 2) e'_{1}] = \\ = 2 + \frac{k - 1}{2} [28 + 12 (k - 2)] = 6 k^{2} - 4 k, \\ a''_{k} = a_{2 k} = a''_{1} + (d''_{1} + d''_{2} + ... + d''_{k - 1}) = a''_{1} + \frac{k - 1}{2} [2 d''_{1} + (k - 2) e''_{1}] = \\ = 10 + \frac{k - 1}{2} [44 + 12 (k - 2)] = 6 k^{2} + 4 k, \end{matrix}

páratlan, ill. páros

n

esetére

k = (n + 1) / 2

-t, ill.

k = n / 2

-t írva:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n - 1}{2}, ill. a_{n} = \frac{3 n^{2} + 4 n}{2}, \end{matrix}

és a 954. feladatban^{$^{*}$} használt elvvel

\begin{matrix} a_{n} = \frac{3 n^{2} + [3 + {(- 1)}^{n}] n}{2} - \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{4} = \frac{1}{4} [6 n^{2} + 6 n - 1 + (2 n + 1) {(- 1)}^{n}] . \end{matrix}

Kovács Margit (Szombathely, Savaria g. III. o. t.)

Megjegyzés: Az

a_{2 k - 1} = 6 k^{2} - 4 k

a_{2 k} = 6 k^{2} + 4 k

képletek a következő szabályszerűségekből, illetve fennmaradásuk megköveteléséből is kiadódnak:

\begin{matrix} a_{2} + a_{1} = 12 = 12 \cdot 1^{2} a_{4} + a_{3} = 48 = 12 \cdot 2^{2} a_{6} + a_{5} = 108 = 12 \cdot 3^{2} \\ a_{2} - a_{1} = 8 = 8 \cdot 1 a_{4} - a_{3} = 16 = 8 \cdot 2 a_{6} - a_{5} = 24 = 8 \cdot 3 \\ a_{8} + a_{7} = 192 = 12 \cdot 4^{2} a_{10} + a_{9} = 300 = 12 \cdot 5^{2} \\ a_{8} - a_{7} = 32 = 8 \cdot 4 a_{10} - a_{9} = 40 = 8 \cdot 5, \end{matrix}

így vehetjük a továbbképezés szabályának a következőt:

a_{2 k} + a_{2 k - 1} = 12 k^{2}

a_{2 k} - a_{2 k - 1} = 8 k

, és ezekből mint egyenletrendszerből adódik

a_{2 k}

és

a_{2 k - 1}

II. megoldás: A (kettéosztatlan) sorozat

d_{k}

különbségi sorozata hasonló szerkezetű a 954. feladatban látott sorozathoz:

\begin{matrix} d_{2 k - 1} = 8 + 8 (k - 1) = 8 k, d_{n} = 4 n + 4, ha n páratlan, \\ d_{2 k} = 6 + 4 (k - 1) = 4 k + 2, d_{n} = 2 n + 2, ha n páros . \end{matrix}

a_{n + 1} = a_{1} + (d_{1} + d_{2} + ... + d_{n})

kifejezése céljára írjuk fel a

d

-sorozat

n

tagjának összegét is a 954. feladat mintájára

\begin{matrix} S_{2 k} = S'_{k} + S''_{k} = \frac{k}{2} (8 + d_{2 k - 1} + 6 + d_{2 k}) = \frac{k}{2} (16 + 12 k) = 6 k^{2} + 8 k, \end{matrix}

S_{2 k - 1} = S_{2 k} - d_{2 k} = 6 k^{2} + 4 k - 2

, azaz

\begin{matrix} S_{n} = {\begin{matrix} \frac{3 n^{2} + 8 n}{2}, & ha n páros, \\ \frac{3 n^{2} + 10 n + 3}{2}, & ha n páratlan . \end{matrix} \end{matrix}

Összefoglalva:

n

bármely pozitív egész értékére.

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{4} [6 n^{2} + 18 n + 3 - (2 n + 3) {(- 1)}^{n}], \end{matrix}

és így:

\begin{matrix} a_{n + 1} = 2 + S_{n} = \frac{1}{4} [6 n^{2} + 18 n + 11 - (2 n + 3) {(- 1)}^{n}], \end{matrix}

végül

n

helyett

n - 1

-et,

{(- 1)}^{n}

helyére

{(- 1)}^{n - 1} = - {(- 1)}^{n}

-et írva

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{4} [6 {(n - 1)}^{2} + 18 (n - 1) + 11 - (2 n + 1) {(- 1)}^{n - 1}] = \frac{1}{4} [6 n^{2} + 6 n - 1 + (2 n + 1) {(- 1)}^{n}] . \end{matrix}

Bürger Nándor (Budapest, József A. g. III. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd ezen számban, 106. o.