Kezdőlap


Feladat:	960. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halász Ákos
Füzet:	1959/november, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/március: 960. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy $S$ egymás utáni tagjaiban az együttható rendre az első $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $...$ , $n$ természetes szám összege:

\begin{matrix} 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, ..., n (n + 1) / 2 = 1 + 2 + ... + n . \end{matrix}

Eszerint

S

így írható:

\begin{matrix} S & = x + \\ + x^{2} + 2 x^{2} + \\ + x^{3} + 2 x^{3} + 3 x^{3} + \\ + x^{4} + 2 x^{4} + 3 x^{4} + 4 x^{4} + \\ + ... ... ... ... ... ... ... ... + \\ + x^{n} + 2 x^{n} + 3 x^{n} + 4 x^{n} + ... + n x^{n} . \end{matrix}

Itt az oszlopok száma

n

, és minden oszlop egy-egy mértani sor, rendre

n

n - 1

n - 2

...

1

taggal. A hányados mindenütt:

x \neq 1

, tehát alkalmazhatjuk a sor összeg-képletét:

\begin{matrix} S = \frac{x (x^{n} - 1)}{x - 1} + \frac{2 x^{2} (x^{n - 1} - 1)}{x - 1} + \frac{3 x^{3} (x^{n - 2} - 1)}{x - 1} + ... + \frac{n x^{n} (x - 1)}{x - 1} = \\ = \frac{x}{x - 1} [(x^{n} + 2 x^{n} - 3 x^{n} + ... {n x}^{n}) - (1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1})] . \end{matrix}

A zárójel első része

n (n + 1) x^{n} / 2

, a levonandó

S'

összeg pedig az előbbihez hasonlóan alakítható:

\begin{matrix} S' & = 1 + \\ + x + x + \\ + x^{2} + x^{2} + x^{2} + \\ + ... ... ... ... ... ... + \\ + x^{n - 1} + x^{n - 1} + x^{n - 1} + ... + x^{n - 1} = \\ = \frac{x^{n} - 1}{x - 1} & + \frac{x (x^{n - 1} - 1)}{x - 1} + ... + \frac{x^{n - 1} (x - 1)}{x - 1} = \\ = \frac{1}{x - 1} [n x^{n} - (1 & + x + x^{2} + ... + x^{n - 1})] = \frac{1}{x - 1} [n x^{n} - \frac{x^{n} - 1}{x - 1}] = \\ = \frac{n x^{n}}{x - 1} - \frac{(x^{n} - 1)}{{(x - 1)}^{2}} . \end{matrix}

Így az eredeti kifejezés:

\begin{matrix} S = \frac{n (n + 1) x^{n + 1}}{2 (x - 1)} - \frac{n x^{n + 1}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{x (x^{n} - 1)}{{(x - 1)}^{3}} . \end{matrix}

Halász Ákos (Kecskemét, Piarista g. IV. o. t.)