Kezdőlap


Feladat:	959. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mezei Ferenc
Füzet:	1959/november, 111 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/február: 959. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felsorolásainkat olyan elv szerint kell szerkesztenünk, amely biztosítja, hogy egyetlen, minőségileg a felsorolandóktól eltérő lehetőség se maradjon ki. Mindegyik rész-kérdésben három térelemet (egyenest vagy síkot, vegyesen is) kell vizsgálnunk. Ezek kölcsönös helyzetének jellemzésére három egyszerűbb kapcsolatot kell megadnunk: a belőlük képezhető három pár kölcsönös helyzetét. E célra áttekintjük az elem-párokra fennálló lehetőségeket. Két (különböző) egyenes egymáshoz képest párhuzamos (rövidítve: $p$ ), metsző ( $m$ ) és kitérő ( $k$ ) lehet. A lehetőségek $p$ , $m$ , $k$ felsorolásában már azt a ,,rangsort'' követtük, amely szerint a lehetőségeket majd rendszerezzük. Célszerű ugyanis $p$ és $m$ -et különleges, figyelmet érdemlő szempontnak venni, továbbá közülük (a síkbeli lehetőségek rangsorolásával) $p$ -t választani elsőnek. $p$ és $m$ esetén a két egyenes meghatároz egy síkot, továbbá $m$ esetén még egy pontot is (másodlagos, közvetve adott elemek), a harmadik térelemnek ehhez képest mutatkozó helyzetét további szempontként célszerű figyelembe venni, mert feltűnő minőségi különbségek mutatkozhatnak.
Egy $f$ egyenes és egy $S$ sík illeszkedő ( $i$ , azaz $f$ benne van $S$ -ben, másképpen: $S$ átmegy $f$ -en), párhuzamos és metsző helyzetben lehet, az $m$ esetben meghatároznak egy pontot két sík pedig $p$ és $m$ helyzetű lehet, az $m$ esetben meghatároznak egy egyenest. (Két vagy három $p$ , vagy $m$ egyenespárból származtatott, másodlagos síkkal kapcsolatban azonban az egybeesés $(e)$ lehetőségét is tekintetbe kell vennünk, hasonlóan az adódott $M$ metszéspontok egybeeső vagy különböző voltát is.)

A helyzeteket elsősorban a megfelelő három betűvel jellemezzük, és ezt esetleg kiegészítjük a másodlagos elemekre vonatkozóan. A felsorolásokban a névsorszerkesztés elveit követjük, rövidítéseink említett rangsora szerint. Tulajdonképpen ezek a betűkombinációk vezetnek abban, hogy mely lehetőségeket kell egyáltalán megvizsgálnunk, ugyanis előkészítésül formálisan (a térbeli tartalomra való tekintet nélkül) kiszámítjuk a megvizsgálandó helyzeti (azaz betű-) kombinációk számát, és felírásuk után vizsgáljuk tartalmi szempontból, hogy valóban lehetséges térbeli helyzeteket jelentenek-e.
a) Legyenek az adott egyenesek

f

g

h

(ezek egyenrangúak, a betűkombinációból az előbb álló betűt az előbb álló egyenespárra vonatkoztatjuk). A

p

m

k

rövidítésekből

10

betűkombináció lehetséges ^{$^{*}$} közülük

8

-nak létezik a térbeli megfelelője:

1

)

p

p

p

(vagyis

f / / g

f / / h

és

g / / h

);

2

)

p

m

m

;

3

)

p

m

k

;

4

)

p

k

k

;

5

)

m

m

m

;

6

)

m

m

k

;

7)

m

k

k

;

8)

k

k

k

. (A

p

p

m

és

p

p

k

kombinációk tartalmi szempontból lehetetlenek, mert ha

f / / g

és

f / / h

, akkor

g / / h

, tehát

p

p

után sem

m

, sem

k

nem állhat.)
Az

1)

2)

és

5)

esetek jelölésében

3

‐

3

p

vagy

m

betű áll, vagyis az egyenespárokból

3

jól látható sík származik; jelöljük ezeket

s_{1}

s_{2}

s_{3}

-mal. Ezek a 2) esetben szükségképpen egybeesők, mert ha

h

az egymással párhuzamos

f

és

g

mindegyikét metszi, akkor benne fekszik

s_{1}

síkjukban.

1)

és

5)

esetben a három sík közül vagy bármelyik kettő (tehát ismét mind a három) egybeesik, vagy egyik pár sem (az 1. ábrán^{$^{*}$}

1 a

5 a'

és

5 a''

, ill.

1 b

5 b

). A

3)

és

6)

esetek

2

‐

2

származtatott síkja csak

m

helyzetű lehet, különben nem állhatna a harmadik helyen

k

betű. Végül a 4) és 7) esetekben a

h

egyenes

p

vagy

m

lehet

s_{1}

-hez (ez azonban a kitérőségek miatt már nem annyira feltűnő különlegesség, csak a teljesség kedvéért említjük). ‐ A metszéspontok változatai: az 5) eset három metszéspontja közül is vagy mind a három pár (azaz mind a három pont) egybeesik

(5 a')

, vagy egyik sem

(5 a'')

. A 2) és 6) eset két metszéspontja csak különböző lehet, különben nem állhatna velük együtt

p

, ill.

k

betű. Ezekkel a ,,finomításokkal'' a lehetőségek száma

13

-ra emelkedik.
b) Legyenek az egyenesek

f

és

g

, és a sík

S

, kölcsönös helyzeteiket

f

g

;

f

S

;

g

S

sorrendben soroljuk fel. A jellemző betűhármas első tagja ismét

3

-féle lehet, további két tagja pedig

i

p

, vagy

m

, ezek összeállítására

6

lehetőség van:

3

,,tiszta'' pár (egyenlő betűkből) és

3

,,vegyes'' (rangsorba szedve), így

3 \cdot 6 = 18

lehetőségre kell gondolnunk. Ezek közül

4

lehetetlen:

k

i

i

(mert ha

f

is,

g

is benne fekszik

S

-ben, akkor nem lehetnek kitérők);

m

i

p

;

p

i

m

és

p

p

m

(indokolásuk esetről-esetre a tartalom szerint végezhető). A fennmaradó

14

betűhármashoz valóban tartozik térbeli

f

g

S

helyzet: Felsorolásukon az

f

g

-vel esetleg meghatározott

s_{1}

síknak

S

-hez viszonyított helyzetét is feltüntetjük, úgyszintén az esetleges

M_{1}

M_{2}

M_{3}

metszéspontokét is, ahol legalább két ilyen van. Ezekből a 3) és 9) esetekben adódik két változat, így a megkülönböztetett kölcsönös helyzetek száma

18 - 4 + 2 = 16

\begin{matrix} f, g & f, S & g, S & s_{1}, S & M-ek & M-ek \\ 1) & p & i & i & e & 5) & m, i, & i & e & 10) & k, & i, & p \\ 2) & p & i & p & m & 6) & m, i, & m & m & M_{1} \equiv M_{2} & 11) & k, & i, & m \\ 3a) & p & p & p & p & 7) & m, p, & p & p & 12) & k, & p, & p \\ 3b) & p & p & p & m & 8) & m, p, & m & m & M_{1} \equiv M_{3} & 13) & k, & p, & m \\ 4) & p & m & m & m & M_{2} ≢ M_{3} & 9a) & m, m, & m & m & egybeesnek & 14) & k, & m, & m & M_{2} ≢ M_{3} \\ 9b) & m, m, & m & m & különbözők \end{matrix}

c) Legyen az adott egyenes

f

, a síkok

S

T

; a felsorolás sorrendje:

S

T

;

f

S

;

f

T

. Itt az utolsó két betűre van

6

kombinációs lehetőség, az elsőre

2 : p

és

m

, így

12

vizsgálatot kell végeznünk. Közülük

3

lehetetlen:

p

i

i

;

p

i

m

, és

p

p

m

. További szempontok:

S

és

T

esetleges metszésvonalának

μ_{1}

-nek

f

-hez képest való helyzete, továbbá

f

és

S

, valamint

f

és

T

esetleges

M_{2}

M_{3}

metszéspontjának kölcsönös helyzete; mindkettő a 9) esetben ad két változatot, éspedig ugyanazt a kettőt, a megkülönböztetett lehetőségek száma:

12 - 3 + 1 = 10

\begin{matrix} S, T & f, S & f, T & M-ek & μ_{1}, f & μ_{1}, f & M-ek \\ 1) & p & i & p & 4) & m, & i, & i & e & 7) & m, & p, & p & p \\ 2) & p & p & p & 5) & m, & i, & p & p & 8) & m, & p, & m & k \\ 3) & p & m & m & M_{2} ≢ M_{3} & 6) & m, & i, & m & m & 9a) & m, & m, & m & m & M_{2} \equiv M_{3} \\ 9b) & m, & m, & m & k & M_{2} ≢ M_{3} \end{matrix}

d) Legyenek a síkok:

S

T

U

. Páronként a

p

és

m

lehetőségről lehet szó, a három párra pedig

4

betűkombinációról. Közülük a

p

p

m

lehetetlen, az

m

m

m

esetben viszont a

μ_{1}

μ_{2}

μ_{3}

metszésvonalak kölcsönös helyzetére három lehetőség van: feladatunk a) részének

1 b

5 b

esete, továbbá mindhárom

μ

egybeesése; ennélfogva

5

lehetőség van.

\begin{matrix} S, T & S, U & T, U & μ - k \\ 1) & p & p & p \\ 2) & p & m & m & μ_{2} / / μ_{3} \\ 3a) & m & m & m & μ_{1} \equiv μ_{2} \equiv μ_{3} \\ 3b) & m & m & m & μ_{1} / / μ_{2} / / μ_{3}a)rész 1b) \\ 3c) & m & m & m & egy közös pontjuk van,a)rész5 b) \end{matrix}

Ezzel a felsorolásokat befejeztük.

Mezei Ferenc (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t.)

^{$^{*}$}3-tagú (3-ad osztályú) ismétléses kombinációk 3-féle elemből, számuk

(\binom{3 + 3 - 1}{3}) = (\binom{5}{3}) = (\binom{5}{2}) = 10

; természetesen e képlet nélkül is felsorolhatók.

^{$^{*}$}Az ábrákon a fehér köröcskék egyenesek, vagy egyenes és sík (másodlagos sík) metszéspontját jelölik; láthatósági viszonyokat is jelzünk, sík és egyenes párhuzamosságának érzékeltetésére az egyenesnek a síkon való vetületét is jelezzük.