Kezdőlap


Feladat:	955. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arató P. , Bollobás B. , Durst I. , Halász Á. , Halász G. , Kolonits Fernc , Komlóssy Gy. , Losonczi L. , Máté Zs. , Náray Miklós (Bp.) , Parti Enikő , Posch Margit , Raisz Klára , S. Nagy Erzsébet , Tihanyi A. , Tusnády G. , Várady G.
Füzet:	1959/november, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/február: 955. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Meg kell keresnünk $23^{\circ}$ alatt és $100^{\circ}$ fölött azokat a tizedfokra kerekített, egymástól $0, 1^{\circ}$ -kal eltérő, $α$ -értékpárokat, amelyeknek egyik értékével az adott egyenlőtlenség még teljesül, vagyis a bal oldal pozitív, a másikával már nem teljesül, mert a bal oldal negatív. A számítások megkönnyítésére, egyenlőtlenségünk bal oldalának $2$ -szeresét így is írhatjuk:^{$^{*}$}

\begin{matrix} (10 sin α - 2 \sqrt[]{3}) [cos α + cos (β - γ)] - 2 \sqrt[]{3} {sin^{2} α + (1 - cos α) [1 - cos (β - γ)]} . \end{matrix}

Tovább

2 cos (β - γ) = \sqrt[]{3}

és

- 2 sin^{2} α = cos 2 α - 1

behelyettesítésével, beszorzással és rendezéssel:

\begin{matrix} (10 sin α cos α + \sqrt[]{3} cos 2 α) + (5 \sqrt[]{3} sin α - 3 cos α) - 3 \sqrt[]{3} = \\ = (4 sin 2 α + sin 2 α + \sqrt[]{3} cos 2 α) + (5 \sqrt[]{3} sin α - 5 cos α + 2 cos α) - 3 \sqrt[]{3}, \end{matrix}

végül

\sqrt[]{3} = 2 sin 60^{\circ} = 2 cos 30^{\circ}

és

1 = 2 cos 60^{\circ} = 2 sin 30^{\circ}

figyelembevételével, egy-egy összeg szinuszát felismerve:

\begin{matrix} 4 sin 2 α + (2 cos 60^{\circ} sin 2 α + 2 sin 60^{\circ} cos 2 α) + (10 cos 30^{\circ} sin α - 10 sin 30^{\circ} cos α) + 2 cos α - 3 \sqrt[]{3} = \\ = 4 sin 2 α + 2 sin (2 α + 60^{\circ}) + 10 sin (α - 30^{\circ}) + 2 cos α - 3 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Így

α

előírt értékeit az

\begin{matrix} f (a) \equiv 2 sin 2 α + sin (2 α + 60^{\circ}) + 5 sin (α - 30^{\circ}) + cos α - 3 \sqrt[]{3} / 2 \end{matrix}

kifejezés előjelének vizsgálatával kereshetjük, ebben valóban csak egész számokkal kell szoroznunk a táblázatból könnyen kivehető értékeket.
Már most

f (30^{\circ}) = 1

(könnyen számítható érték) és az adott helyen:

f (23^{\circ}) = 0, 1128

, vagyis

30^{\circ} - 23^{\circ} = 7^{\circ}

csökkenésre

f

értéke

1 - 0, 1128 = 0, 8872

-del csökkent. Hogy

f (α)

negatívvá váljék, további több mint

0, 1128

csökkenés szükséges, az előzőnek mintegy

8

-ad része, csökkentsük tehát

α

-t kereken

1^{\circ}

-kal. Így

f (22^{\circ}) = - 0, 0072 < 0

. A beállt csökkenés:

0, 1200

, több mint

10

-szerese

| f (22^{\circ}) |

-nek, amennyivel nagyobb

f

értéket a következő lépésben kell keresnünk. Így várható, hogy

0, 1^{\circ}

-kal visszalépve ismét pozitív lesz

f

. Valóban,

f (22, 1^{\circ}) = + 0, 0052 > 0

, tehát a keresett legkisebb érték:

α_{min} = 22, 1^{\circ}

.
Hasonlóan

f (90^{\circ}) = \sqrt[]{3} / 2 = 0, 8660

(könnyen megállapítható érték),

f (100^{\circ}) = 0, 2580

, vagyis

10^{\circ}

növekedésre

f

-ben kb.

0, 6

csökkenés állt be. A még elérendő csökkenés ennek nem egészen fele, növeljük tehát

α

-t durván

10^{\circ}

felével. Így

f (105^{\circ}) = - 0, 0273

, vagyis

5^{\circ}

növekedésre

0, 2853

csökkenés állt be.

f (105^{\circ})

-hoz képest kb. ennek

10

-edrészével kell növelnünk, csökkentsük tehát

α

-t

5^{\circ} : 10 = 0, 5^{\circ}

-kal. Ekkor

f (104, 5^{\circ}) = + 0, 0002

, még pozitív, de már

f (104, 6^{\circ}) < 0

, ennélfogva

α

keresett legnagyobb értéke:

α_{max} = 104, 5^{\circ}

Kolonits Ferenc (Budapest, Piarista g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Ha tehát az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög szögei pl.

α = 22, 8^{\circ}

β = 93, 6^{\circ}

γ = 63, 6^{\circ}

, vagy

α = 104, 4^{\circ}

β = 52, 8^{\circ}

γ = 22, 8^{\circ}

, akkor a hozzá az idézett cikk szerint szerkesztett

A_{2} B_{2} C_{2}

háromszög vele azonos körüljárású.

^{$^{*}$}Lásd Lőrincz Pál: Megjegyzések egy versenyfeladathoz c. cikkének (2) és (5) kifejezéseit, KML. XVII. köt. 131‐132. o. (1958. december)