Kezdőlap


Feladat:	954. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona Márta , Windsch Andor
Füzet:	1959/november, 106 - 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/február: 954. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat tetszés szerinti sorszámú tagját csak akkor írhatjuk fel, ha a megadott tíz tagon felismerünk valamely képezési szabályszerűséget, és feltesszük, hogy ez a szabályszerűség bármely sorszámú tagra fennáll. Képezve sorozatunk különbségi sorozatát (minden tagnak az előtte állóhoz képest való megváltozását) minden páratlan sorszámú különbséget $6$ -nak, minden páros sorszámú különbséget $8$ -nak találunk. Így bármely két szomszédos különbség összege (minden tagnak az előtte álló másodikhoz képest való megváltozása) $14$ , eszerint sorozatunk páratlan és páros indexű tagjai külön-külön $d = 14$ különbségű számtani sorozatot alkotnak:

\begin{matrix} a_{2 k - 1} = 2 + 14 (k - 1) = 14 k - 12, \end{matrix}

(ugyanis

2 k - 1

k

-adik páratlan természetes szám), másképpen,

2 k - 1 = n

k = (n + 1) / 2

-vel;

\begin{matrix} a_{n} = 2 + 14 \frac{n - 1}{2} = 7 n - 5, ha n páratlan; \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} a_{2 k} = 14 k - 6, másképpen a_{n} = 7 n - 6, ha n páros . \end{matrix}

a_{n}

kétféle kifejezését közös alakban is írhatjuk, ha egyrészt felhasználjuk, hogy két szám nagyobbika a számtani közepüktől ugyanannyival tér el ,,fölfelé'', mint amennyivel a kisebbikük ,,lefelé'', éspedig a két szám elférésének (különbségük abszolút értékének) felével, ‐ másrészt azt, hogy az eltérés váltakozva

+

-

jellel veendő, a

{(- 1)}^{n}

tényezővel fejezzük ki. Így bármely indexre

\begin{matrix} a_{n} = 7 n - \frac{11}{2} - \frac{{(- 1)}^{n}}{2} . \end{matrix}

(1)

(Páratlan

n

-re növelnünk kell, mert

- 5 > - 6

, ezért van

{(- 1)}^{n}

előtt mínuszjel.)
Ha

n

páros,

n = 2 k

, akkor az összegben mindkét sorozatból

n / 2 = k

számot veszünk, így a páratlan, ill. páros indexű tagok összegét

S'

, ill.

S''

-vel jelölve

\begin{matrix} S_{2 k} = S'_{k} + S''_{k} = \frac{k}{2} (2 + a_{2 k - 1} + 8 + a_{2 k}) = \frac{k}{2} (28 k - 8) = 14 k^{2} - 4 k; \end{matrix}

n = 2 k - 1

-gyel pedig

k

páratlan és

k - 1

páros indexű tagot adunk össze:

\begin{matrix} S_{2 k - 1} = S'_{k} + S''_{k - 1} = \frac{k}{2} (2 + a_{2 k - 1}) + \frac{k - 1}{2} (8 + a_{2 k - 2}) = \\ = (7 k^{2} - 5 k) + (7 k^{2} - 13 k + 6) = 14 k^{2} - 18 k + 6. \end{matrix}

(Rövidebben:

S_{2 k - 1} = S_{2 k} - a_{2 k}

). Másképpen, ismét

k = n / 2

, ill.

k = (n + 1) / 2

-vel

\begin{matrix} S_{n} & = \frac{7 n^{2}}{2} - 2 n ha n páros, \\ S_{n} & = \frac{7 n^{2}}{2} - 2 n + \frac{1}{2} ha n páratlan . \end{matrix}

Egy képletben összefoglalva:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{7 n^{2} - 4 n}{2} + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{4} . \end{matrix}

(2)

Windisch Andor (Budapest, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A különbségi sorozatról tett megállapításunkat így is kimondhatjuk: a növekedés tagról-tagra átlagosan

(6 + 8) / 2 = 7

, tehát

a_{n}

körülbelül:

a'_{n} = a_{1} + 7 (n - 1)

, de a páros indexű tagokból

1

-et le kell vonnunk (a páratlan indexűekből viszont semmit). A szükséges levonást felírhatjuk a

K_{1} = [1 + {(- 1)}^{n}] / 2

kifejezéssel, így

a_{n} = a_{1} + 7 (n - 1) - K_{1}

és ez azonos (1)-gyel. Hasonlóan: az

1

2

3

...

n

sorozat páros tagjainak száma

K_{2} = \frac{n}{2} - \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{4}

; és így

\begin{matrix} S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) - K_{2} \cdot 1 = \frac{n}{2} [2 a_{1} + 7 (n - 1)] - \frac{n}{2} + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{4} = \\ = \frac{n}{2} (7 n - 4) + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{4}, \end{matrix}

ez pedig azonos (2)-vel.
2. Eredményeinkhez úgy is eljuthatunk, ha a sorozat tagjait rendre úgy tekintjük, mint az

a_{1} = 1, 5

d = 7

adatokkal meghatározott számtani sorozat és az

a_{1} = 0, 5

q = - 1

mértani sorozat megfelelő tagjaiból képezett összeget.

Katona Mária (Budapest, Szilágyi E. lg. I. o. t.)