A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Tegyük fel, hogy a kérdéses tulajdonságú ív létezik, pontjainak sorrendje az íven: , , , , tehát , és jelöljük az , egyenesnek -vel való metszéspontját , -gyel, tehát . Ennélfogva felező merőlegese -et is felezi, a háromszög egyenlő szárú. Legyen továbbá -nek a körrel való második metszéspontja (a rövidebb íven) . Ekkor a és háromszögek egybevágók, mert , -nél fekvő szögeik csúcsszögek, , ennélfogva . Eszerint a körön tetszés szerint felvett ponthoz létezik , és ezt azzal az egyenessel metszhetjük ki, amely felezi az hosszúságú húr végpontjához tartozó sugarat. és vele egyértelműen van meghatározva.
Serfőző Gusztáv (Budapest, Madách I. g. IV. o. t.) | Megjegyzés: Az eddigiekből is következik, ennélfogva paralelogrammává egészíti ki az háromszöget, tehát az egyenes -ból és -ből is meghatározható. ‐ Másképpen: az -n átmenő átmérő másik végpontját -fel jelölve középvonala az háromszögnek, így , tehát az körül és körül sugárral írt körök metszéspontjaként is szerkeszthető.
Tihanyi Ambrus (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.) |
II. megoldás: felezi az és egyenesek szögét, így külső szögfelezője az háromszögnek, ezért . Most már, az -ból induló belső szögfelező talppontját -vel jelölve , így harmadolja -et, ennélfogva -et is. Ennek alapján a tetszés szerint felvett húrhoz megszerkeszthetjük azt a kört, amelyben a kívánt tulajdonság fennáll: megszerkesztjük -n -et, majd -t, és (a két szögfelező merőlegessége alapján) a átmérő fölé írt Thalész-körrel felező merőlegeséből kimetsszük -t.
Czinege Imre (Pannonhalma, Bencés g. IV. o. t.) | III. megoldás: Az négyszög deltoid, mert az átló felező merőlegese az átlónak. Másrészt és az egyenesnek ellentétes partjain vannak, és a kerületi szögek tétele folytán , így , és a deltoid szimmetriája folytán . Eszerint az négyszög rombusz: . Mindebből az is következik, hogy az négyszög szimmetrikus trapéz, -nek az -n levő vetülete felezi -t, továbbá, hogy . Ezzel újabb módot nyertünk -hez a kör megszerkesztésére: -t egyenlő részre osztva az -tól -ik osztópont , az ötödik , a -ben emelt merőlegest -ből sugárral elmetszve megkapjuk -t.
Székely Jenő (Pécs, Nagy Lajos g. II. o. t.) | IV. megoldás: Az I. megoldás szöge kiegészítő szöge a három egyenlő részre osztott szög kétharmadának, -nek. Így jelöléssel , és az egyenlő szárú háromszögből . Innen és .
Valkó János (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.) | Megjegyzések: 1. A III. megoldás derékszögű háromszögében , és így . 2. felezőpontját -gyel és -et -vel jelölve az és derékszögű háromszögekből , , másrészt , innen .
Raisz Klára (Miskolc, Zrínyi Ilona lg. III. o. t.) |
|