Kezdőlap


Feladat:	949. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás György , Dániel Gábor , Máthé Csaba
Füzet:	1959/november, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 949. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $sin 3 α$ kifejezhető $sin α$ -val: $sin 3 α = sin (2 α + α) = sin 2 α cos α + cos 2 α sin α = 2 sin α cos^{2} α + (2 cos^{2} α - 1) sin α = (4 cos^{2} α - 1) sin α = (3 - 4 sin^{2} α) sin α$ . Az utolsó zárójelbeli kifejezést a következőképpen zárhatjuk két határ közé: emeljük négyzetre a feltételből következő $0 < sin α < 1 / 2$ kettős egyenlőtlenséget, szorozzunk mindenütt $- 4$ -gyel és adjunk hozzá mindenütt $3$ -at:

\begin{matrix} 0 < sin^{2} α < 1 / 4; 0 > - 4 sin^{2} α > - 1; 3 > 3 - 4 sin^{2} α > 2. \end{matrix}

Ezt a feltétel szerint pozitív

sin α

-val szorozva és középen

sin 3 α

fenti kifejezését felismerve a bizonyítandó egyenlőtlenséget nyerjük.

Máthé Csaba (Győr, Révai M. g. III. o. t.)

II. megoldás: Alkossanak az

O

középpont körüli

r = 1

sugarú körnek

O A

sugarával az

O B

O C

sugarak a pozitív forgási irányban

α

, ill.

3 α

szöget, legyen

B

C

vetülete

O A

-n

B'

ill.

C'

, (az

O A

szakasz belsejében, mert

α

és

3 α

hegyes szögek), így

B B' = sin α

C C' = sin 3 α

; legyen továbbá az

O B C

egyenlő szárú háromszög

O

-ból húzott magassága

O D

B

vetülete

C C'

-n

E

(ugyancsak a

C C'

szakaszon), végül az

O C' B C

konvex négyszög

O B

és

C C'

átlóinak metszéspontja

F

(mindkét átló belsejében).

Így egyrészt

D O B ∢ = α

B C = 2 sin α

, másrészt az

O F C'

és

O B D

derékszögű háromszögek révén

C F B ∢ = C' F O ∢ = 90^{\circ} - α = O B D ∢ = F B C ∢

, tehát az

F B C

háromszög egyenlő szárú. Így

\begin{matrix} \underset{̲}{2 sin α} = B C = C F < C F + F C' = C C' = \underset{̲}{sin 3 α} = C E + E C' = C E + B B' < \\ < C B + B B' = 2 sin α + sin α = \underset{̲}{3 sin α} . \end{matrix}

Ezzel az adott kettős egyenlőtlenséget bebizonyítottuk.

Barabás György (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)

Megjegyzés.

α = 0^{\circ}

és

α = 30^{\circ}

mellett

2 sin α = sin 3 α

, eszerint az egyenlőtlenség első részének érvényessége nem terjeszthető ki az adott intervallumot magában foglaló hosszabb intervallumra. A második rész viszont ‐ amint

sin 3 α = 3 sin α - 4 sin^{3} α < 3 sin α

-ból látható ‐ fennáll, ha

sin α > 0

, ennélfogva akkor is, ha

0^{\circ} < α < 180^{\circ}

Dániel Gábor (Budapest, Piarista g. IV. o. t.)