Kezdőlap


Feladat:	946. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gazsó Erzsébet , Kéry Gerzson , Kiss Ádám
Füzet:	1959/november, 97 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 946. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az adott töréspontokat rendre $B$ , $C$ , $D$ -vel, a további két pontot $A$ , $E$ -vel. Abszcisszáik szerint növekvő rendbe szedve az $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ egymásutánt kapjuk, tehát a függvény képének két egyenes szakasza $B C$ és $C D$ , a két félegyenes pedig $B$ -től $A$ -n, ill. $D$ -től $E$ -n át halad. Így a független változó

\begin{matrix} x \leq x_{B} = - 4, - 4 = x_{B} \leq x \leq x_{C} = 0, 0 = x_{C} \leq x \leq x_{D} = 2, x \geq x_{D} = 2 \end{matrix}

értékeire a keresett

f

függvény értékét rendre az

A B

B C

C D

D E

egyenes

x

abszcisszájú pontjának ordinátája adja meg, vagyis rendre

\begin{matrix} y = - 0, 2 x + 1, 2; y = - 0, 5 x; y = 2, 5 x; y = (x + 13) / 3. \end{matrix}

Ezek szerint a grafikonjával megadott függvényünket szakaszonként más-más képlettel a következőképpen határozhatjuk meg:

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} - 0, 2 x + 1, 2, & ha x \leq - 4, \\ - 0, 5 x, & ha - 4 \leq x \leq 0, \\ 2, 5 x, & ha 0 \leq x \leq 2, \\ (x + 13) / 3, & ha x \geq 2, \end{matrix} \end{matrix}

(1)

így módunk van

f

bármely

x

helyen felvett értékének számítás útján való megállapítására.

Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)

II. megoldás: Elsőfokú függvényből és ilyenek abszolút értékéből állandóval való szorzással és összeadással képezett függvények képe egymáshoz csatlakozó félegyenesekből és (több abszolút értékes tag esetén) egyenesszakaszokból áll; a részek csatlakozó pontjainak, a töréspontoknak

x_{0}

abszcisszája a függvény kifejezésében az abszolút érték jelén belül szerepel általában

k \cdot | x - x_{0} |

alakban.^{$^{*}$} Ennek alapján kereshetjük függvényünk kifejezését

\begin{matrix} f (x) = a | x + 4 | + b | x | + c | x - 2 | + d x + e \end{matrix}

(2)

alakban, ahol az együtthatókat úgy kell meghatároznunk, hogy

x

-nek rendre az előbbi

A

B

C

D

E

pontok abszcisszáit véve

f (x)

-nek ugyanezen pontok ordinátáit kapjuk. Ez a követelés az

a

b

c

d

e

együtthatókra, mint

5

ismeretlenre az

5

pont révén

5

egyenletből álló elsőfokú egyenletrendszert ad:

\begin{matrix} A -ból x & = - 9 -cel: & f (- 9) = 5 a + 9 b + 11 c - 9 d + e = 3, & (3) \\ B -ből x & = - 4 -gyel: & f (- 4) = 4 b + 6 c - 4 d + e = 2, & (4) \\ C -ből x & = 0 -val: & f (0) = 4 a + 2 c + e = 0, & (5) \\ D -ből x & = 2 -vel: & f (2) = 6 a + 2 b + 2 d + e = 5, & (6) \\ E -ből x & = 5 -tel: & f (5) = 9 a + 5 b + 3 c + 5 d + e = 6. & (7) \end{matrix}

(4)-ből (3)-at kivonva a különbséget egyszerűsíthetjük

5

-tel:

\begin{matrix} - a - b - c + d = - 1 / 5. \end{matrix}

(

4'

)

Hasonlóan a további szomszédos egyenlet-párokból:

\begin{matrix} a - b - c + d & = - 1 / 2, & (5') \\ a + b - c + d & = 5 / 2, & (6') \\ a + b + c + d & = 1 / 3. & (7') \end{matrix}

(5')

és

(4')

különbségében

a

kivételével minden más ismeretlen kiesik, és így

a = - 3 / 20

. Hasonlóan a további szomszédos egyenlet-párokból

b = 3 / 2

c = - 13 / 12

, majd ezekkel a

(4') - (7')

egyenletek bármelyikéből

d = 1 / 15

, végül pl. (3)-ból

e = 83 / 30

. ‐ Mindezek szerint (2) így alakul:

\begin{matrix} f (x) = (- 9 | x + 4 | + 90 | x | - 65 | x - 2 | + 4 x + 166) / 60. \end{matrix}

(8)

Az ellenőrzés és az I. megoldással való egybevetés példájaként megmutatjuk, hogy

- 4 \leq x \leq 0

mellett (8) az (1)-beli megfelelő kifejezést adja. Ekkor

x + 4 \geq 0

, tehát

| x + 4 | = x + 4

, hasonlóan

| x | = - x

és

| x - 2 | = - x + 2

, tehát

\begin{matrix} f (x) = [- 9 (x + 4) - 90 x + 65 x - 130 + 4 x + 166] / 60 = - 30 x / 60 = - 0, 5 x . \end{matrix}

Ugyanígy

x \leq - 4

x \geq 2

és

0 \leq x \leq 2

-re is elsőfokú függvényt kapunk, annak képe az előírt félegyenes, ill. egyenesszakasz.

Gazsó Erzsébet (Szeged, Tömörkény I. lg. III. o. t.)

Megjegyzés. Az együtthatók koordinátageometriai meggondolással, a két megoldás elemeinek összekapcsolásával is meghatározhatók. Pl. ismét

- 4 \leq x \leq 0

-re (2)-ből és (1)-ből

\begin{matrix} f (x) = a (x + 4) + b (- x) + c (- x + 2) + d x + e = (a - b - c + d) x + \\ + (4 a + 2 c + e) = - 0, 5 x, \end{matrix}

innen az együtthatók egyenlőségének követelményéből egyrészt

(5')

-re, másrészt

4 a + 2 c + e = 0

-ra jutunk. Hasonlóan

(4')

(6')

és

(7')

bal oldala a megfelelő iránytényezőt jelenti.

Kiss Ádám (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t.)

^{$^{*}$}Gimn. IV.o. tankönyv.