A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a sorozat különbsége , tagjainak száma , másrészt tegyük fel, hogy tagja a sorozatnak, és sorszáma . Ekkor nyilván , másrészt a feltevés folytán vagy , vagy ; és
tehát az adott számokat a jobb oldalra gyűjtve Itt a bal oldalnak két természetes szám hányadosának kell lennie, eszerint csak akkor lehet tagja a sorozatnak, ha a hányados is (1-nél kisebb) pozitív racionális szám. (A feltevésnél fogva ez a hányados biztosan 0 és 1 közé esik, de nem feltétlenül racionális.) Fordítva, ha , és egyszerűsítve ahol , relatív prim természetes számok, , akkor található ‐ éspedig végtelen sok ‐ olyan számtani sorozat, amelynek , és tagjai. Ugyanis megadható a fentieknek megfelelő , számpár: -ból , , ahol bármely természetes szám. Az adott számpéldákban a tagok száma is adva van, így -ból , tehát a válasz csak akkor lesz igenlő, ha a hányados értékére olyan 0 és 1 közti racionális szám adódik, amelynek egyszerűsíthetetlen alakjában a nevező 99-nek (1-nél nagyobb) osztója: 3, 9, 11, 33, vagy 99. ‐ Ez a követelmény az a) példában nem teljesül: , a b) példában viszont teljesül, mert | | és szerepel a megengedett nevezők között. (Mivel e hányados 0 és 1 közé esik, nem szükséges vizsgálnunk, hogy közéje esik-e -nek és -nak.) Valóban -ből , másrészt -ből , és így a sorozat 45-ik tagja: | |
Kisvölcsey Jenő (Budapest, Piarista g. IV. o. t.). |
|