Kezdőlap


Feladat:	944. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kisvölcsey Jenő
Füzet:	1959/október, 55 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 944. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a sorozat különbsége $d$ , tagjainak száma $n$ , másrészt tegyük fel, hogy $k$ tagja a sorozatnak, és sorszáma $m$ . Ekkor nyilván $1 < m < n$ , másrészt a feltevés folytán vagy $e < k < u$ , vagy $e > k < u$ ; és

\begin{matrix} u = e + (n - 1) d, k = e + (m - 1) d, így \\ d = \frac{u - e}{n - 1} = \frac{k - e}{m - 1}, \end{matrix}

tehát az adott számokat a jobb oldalra gyűjtve

\begin{matrix} \frac{m - 1}{n - 1} = \frac{k - e}{u - e} . \end{matrix}

(1)

Itt a bal oldalnak két természetes szám hányadosának kell lennie, eszerint

k

csak akkor lehet tagja a sorozatnak, ha a

(k - e) / (n - e)

hányados is (1-nél kisebb) pozitív racionális szám. (A feltevésnél fogva ez a hányados biztosan 0 és 1 közé esik, de nem feltétlenül racionális.)
Fordítva, ha

e ≶ k ≶ u

, és egyszerűsítve

\begin{matrix} \frac{k - e}{u - e} = \frac{p}{q} \end{matrix}

ahol

p

q

relatív prim természetes számok,

p < q

, akkor található ‐ éspedig végtelen sok ‐ olyan számtani sorozat, amelynek

e

k

és

u

tagjai. Ugyanis megadható a fentieknek megfelelő

m

n

számpár:

\begin{matrix} \frac{m - 1}{n - 1} = \frac{k - e}{u - e} = \frac{p}{p} = \frac{t p}{t q} \end{matrix}

-ból

m = t p + 1

n = t q + 1

, ahol

t

bármely természetes szám.
Az adott számpéldákban a tagok száma is adva van, így

t q + 1 = 100

-ból

t q = 99

, tehát a válasz csak akkor lesz igenlő, ha a

(k - e) / (u - e)

hányados értékére olyan 0 és 1 közti racionális szám adódik, amelynek egyszerűsíthetetlen alakjában a nevező 99-nek (1-nél nagyobb) osztója: 3, 9, 11, 33, vagy 99. ‐ Ez a követelmény az a) példában nem teljesül:

(k - e) / (u - e) = 342 / 999 - 38 / 111

, a b) példában viszont teljesül, mert

\begin{matrix} \frac{k - e}{u - e} = \frac{16 \sqrt[]{3} - 12 \sqrt[]{2}}{36 \sqrt[]{3} - 27 \sqrt[]{2}} = \frac{4 (4 \sqrt[]{3} - 3 \sqrt[]{2})}{9 (4 \sqrt[]{3} - 3 \sqrt[]{2})} = \frac{4}{9}, \end{matrix}

és

q = 9

szerepel a megengedett nevezők között. (Mivel e hányados 0 és 1 közé esik, nem szükséges vizsgálnunk, hogy

k

közéje esik-e

e

-nek és

u

-nak.) Valóban

u - e = 99 d = 36 \sqrt[]{3} - 27 \sqrt[]{2}

-ből

d = (4 \sqrt[]{3} - 3 \sqrt[]{2}) / 11

, másrészt

\begin{matrix} \frac{4}{9} = \frac{44}{99} = \frac{m - 1}{n - 1} \end{matrix}

-ből

m = 45

, és így a sorozat 45-ik tagja:

\begin{matrix} e + 44 d = (81 \sqrt[]{2} - 64 \sqrt[]{3}) + \frac{44}{11} (4 \sqrt[]{3} - 3 \sqrt[]{2}) = 69 \sqrt[]{2} - 48 \sqrt[]{3} = k . \end{matrix}

Kisvölcsey Jenő (Budapest, Piarista g. IV. o. t.).