|
Feladat: |
942. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató Péter , Bollobás B. , Csanak Gy. , Czékus L. , Dániel G. , Elekes B. , Endrődy T. , Fritz J. , Gazsó Erzsébet , Gyene A. , Kéry G. , Kolonits F. , Máté A. , Máté E. , Máté Zs. , Mocskónyi M. , Náray Miklós (Bp.) , Papp Éva , Sillay B. , Szász Domokos , Szatmári G. , Székely J. , Tihanyi A. , Tomcsányi Gy. , Trón L. , Tusnády G. |
Füzet: |
1959/november,
95 - 97. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Irracionális számok és tulajdonságaik, Háromszögek nevezetes tételei, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszögek szerkesztése, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1958/december: 942. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A feladat szövege a pontnak -n való kitűzését kétféleképpen teszi lehetővé: -tól vagy oldalán, vagy -nek -n túl való meghosszabbításán. Aszerint is két lehetőséggel kell számolnunk helyzetére, hogy az első esetben az egyenlő szárú háromszög alapja kisebb, vagy nagyobb a száránál. Végül első hallásra a háromszög egyenlő szárú voltát is háromféleképpen képzelhetjük el, ugyanis bármelyik két oldalának egyenlőségére gondolhatunk. Mindenesetre , különben elfajult háromszög lenne, tehát , . E kérdéseknek minden lehető módon való megválasztása után esetről esetre kiszámíthatjuk az háromszög szögeit (ugyanis az és háromszögek egyenlő szárú voltából további egyenletet kapunk a két ismeretlen szögére), és ennek alapján adunk választ a kérdésre.
1. a) Legyen egyirányú -vel és ; így az szakaszra esik. Ekkor , , tompa szög, így a háromszög csak úgy lehet egyenlő szárú, ha . Ekkor, és jelölésekkel mindenképpen , továbbá feladatunkban , és ebből , . Így az háromszög, vagy ami ugyanaz, a szög megszerkesztése egyértelmű a szabályos -szög szerkesztésével, erről pedig tudjuk, hogy euklidészi értelemben nem szerkeszthető meg. 1. b) Legyen egyirányú -vel és , tehát az -nek -n túli meghosszabbításán van. -ben nem lehet , mert ez a feltevés -re vezet, és így az háromszög nem létezik. Így két lehetőség marad egyenlő szárúságára: -ből révén -ból , ami ismét nem szerkeszthető; -ből pedig , ez viszont a szabályos -szög szerkeszthetősége folytán szerkeszthető. 2. Legyen ellentétes irányú -vel. Ekkor és , tehát a háromszög kétféleképpen lehet egyenlő szárú -vel, amiből , és így , ami szerkeszthető, ‐ ill. -vel, amiből , és így , nem szerkeszthető.
Arató Péter (Kaposvár, Táncsics M. g. IV. o. t.) | Megjegyzések: 1. A három megszerkeszthetetlen eset ábrái csak abban különböznek, hogy az , , betűk ciklikusan permutálódnak. 2. A versenyzők többsége nem tért ki valamennyi lehetőségre. II. megoldás: Trigonometriai ismeretekre támaszkodva is válaszolhatunk a kérdésre. Lényegében az a kérdés, megszerkeszthető-e az háromszög szárából az alap (vagy fordítva), más szóval a arányszám, amelynek fele a koszinuszát adja. Vegyük hosszúságegységnek a szárat: , így a háromszög-egyenlőtlenségből , másrészt . Fejezzük ki a kérdéses háromszögnek a szerkesztéssel létrejött oldalait. A szakasz hossza vagy , vagy aszerint, hogy -t -tól felé, ill. az ellentétes irányba mértük fel, ugyanis az egyenlő szárú háromszög szárai közti szög eszerint lesz , ill. . A félszög függvényeit -vel kifejezve . Másrészt hossza , ill. aszerint, hogy , ill. vagy pedig . Így a egyenlő szárú háromszögben csak szár lehet, ugyanis a feltevés -gyel -ra, ill. -gyel -re vezet, és az háromszög egyik esetben sem létezik. Aszerint, hogy a másik szár szerepét játssza-e, vagy , két esetet kell vizsgálnunk. 1. , azaz -gyel , vagy . Könnyű belátni, hogy az első egyenletnek , a másodiknak pedig gyöke, számunkra azonban egyik sem valóságos megoldás, mert mellett egybeesik -vel, a negatív gyöknek pedig itt nincs értelme. Az egyenletek bal oldalát a megfelelő , ill. gyöktényezővel osztva a további gyökök , ill. -ból: , ill. . Ezek mint szakaszok megszerkeszthetők, mert a hosszúságú szakaszt az és befogójú derékszögű háromszög átfogójaként kaphatjuk. A nagyobb gyökök , ill. , velük háromszög szerkeszthető, a megfelelő szögek , ill. ; a kisebb gyökök negatívok. 2. -vel a esetekben -ből a esetben pedig -ből a egyenletre jutunk. Az utóbbit a alakban írva látjuk, hogy gyökei -szer akkorák, mint gyökei, ezért a szerkeszthetőség kérdésében mindkét egyenletnél ugyanarra a válaszra jutunk, így elég (1)-gyel foglalkoznunk. Mivel (1)-ben valamennyi együttható egész szám és együtthatója , azért ha van racionális gyöke, az egész szám. Egész gyökként csak az állandó tag osztói: és jöhetnek szóba, de egyikük sem gyöke (1)-nek. Így (1) a racionális számtest fölött irreducibilis, egyik gyöke sem szerkeszthető meg.
Szász Domokos (Budapest, Eötvös J. g. IV. o. t.) | Megjegyzés: A 2. esetre kapott válasz után nincs értelme kutatni, van-e egyáltalán olyan egyenlő szárú háromszög, szárral, amelynek alapja eleget tesz (1)-nek, ill. (2)-nek. Mégis az I. megoldás eredményeivel való összeegyeztetés végett megjegyezzük, hogy (1) bal oldalának értéke
eszerint (1)-nek és között, és között, és és között van egy-egy gyöke, az utóbbi kettővel létezik egy-egy megfelelő háromszög, a és közti gyök -szerese pedig (2) révén ad egy háromszöget. Finomabban, lépésekkel haladva kapjuk, hogy (1) pozitív gyökei a és az intervallumban vannak, negatív gyöke pedig a -ban. Ezekből már elég jó megközelítéssel látható, hogy a , , ill. intervallumban van, és így ,,közel jár'' -nak , ill. , ill. részéhez.
Ez a kapcsolat az előbbi egyenletpár esetében is fennállt.Lásd pl. Surányi János: A szögharmadolás kérdéséről, KML. XIV. kötet, 97-107. és 129-134 o., közelebbről 131-132. o. (1957. április-május). |
|