A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az adott egyeneseket a csúcspontok felhasználása nélkül úgy toljuk el, vagy valamely tengelyre tükrözzük, vagy valamely pont körül elforgatjuk, hogy csúcspont ne jusson csúcspontba. Az új helyzetben megszerkesztjük a nevezetes pontokat és ezeket visszatoljuk, visszatükrözzük, visszaforgatjuk az eredeti háromszögbe. ‐ Ugyanezen elv alapján hasonlósági transzformációval is célhoz juthatunk.
Dobos László (Szeged, Radnóti M. g. II. o. t.) | Megjegyzés. A kívánt nevezetes pontok között egy olyan van, amely egybeeshet egy csúccsal: a magasságpont, éspedig derékszögű háromszögben. Ha tehát a háromszög derékszögű, akkor visszatranszformálása sem hajtható végre. Hogy a háromszögnek és oldalegyenesei derékszöget zárnak be, arról a csúcsok felhasználása nélkül így győződhetünk meg : -nek egy a csúcsoktól különböző pontja körül alkalmas -sugárral olyan kört írunk le, amely -t kétszer metszi, majd a metszéspontok körül is sugarú köröket írunk; ha ezek másodszor is -n metszik egymást, akkor és merőlegesek. II. megoldás: Legyenek az adott egyenesek , , , és jelöljük a velük meghatározott háromszöget -val. Húzzunk , , -val mindkét oldalukon ugyanakkora távolságban párhuzamost, legyenek ezek , , , , , , az 1-es indexű mindig a ,,belső'' oldalon, vagyis pl. az -nak azon az oldalán, amelyen és metszik egymást.
Így számos az eredetivel hasonló helyzetű háromszöget, továbbá paralelogrammákat kaptunk, ezeket fogjuk a szerkesztésekre felhasználni. Az idomokat oldalegyeneseiknek zárójelben való felsorolásával jelöljük, és hasonlóan a metszéspontokat is a megfelelő egyenesekével. Nyilvánvaló, hogy beírt körének középpontja azonos mind az (, , )-be, mind az (, , )-be beírt kör középpontjával. Eszerint megszerkeszthető: ha , , egy pontban metszik egymást, akkor ez a pont , különben pedig az (, , , ) rombusz (, ) (, ) átlója adja meg céljára az és egyenesek közti belső szög felezőjét. Ugyanígy az előbbi rombusz (, )(, ) átlója az , egyenesek külső szögét felezi. Ennek alapján a hozzáírt körök középpontjai is megszerkeszthetők. Egyébként hasonlóan a -nak oldalához hozzáírt kör középpontja azonos az (, , ) és (, , ) háromszögek , ill. oldalához hozzáírt kör középpontjával. A , (, , ) és (, , ) háromszögeknek közös a (,) csúcsukból kiinduló súlyvonala. Ebből egy‐egy pont az (, )(, ) és (, ) (, ) szakaszok felezőpontja, így -nak súlypontja is megszerkeszthető. A súlyvonalak kimetszik az adott egyenesekből az oldalfelező pontokat; két ilyenben az oldalfelező merőlegest felállítva megkapjuk körülírt körének középpontját. Végül -nak pl. (, )-ból húzott magasságvonala egyben (, , )-nak és (, , )-nak is magasságvonala. Az utóbbi kettőnek magasságpontja megszerkeszthető mint a és oldalra merőleges magasságok metszéspontja, összekötésükben, vagy egyikből az -ra állított merőlegesben megkapjuk -t. Végül két magasság metszéspontja megadja -nak magasságpontját. -et az Euler-egyenes alapján is megkaphatjuk az szakasz -en túli meghosszabbítására rámért 2 szakasz végpontjában.
Bárczy Pál (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. IV. o. t.) | Megjegyzés: A dolgozatok sok különböző szerkesztési eljárást adtak. Itt két olyan megoldást közöltünk, amely egységes kiindulásból valamennyi kívánt pontot előállítja.
|