A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A vizsgálandó összeget tekinthetjük egy olyan mozgó pont útvonala hosszának, amely az pontból a , majd az szár egy-egy pontjának útbaejtésével egyenes szakaszokon -be megy át. ‐ Legyen az háromszögnek a , ill. szárra való tükörképe , ill. (1. ábra). 1. ábra Így és , ezért az előírt útvonal minimuma helyett kereshetjük a vele egyenlő összegnek, vagyis az és -re vonatkozó eredeti követelmények mellett az -ből -be haladó útvonal hosszának minimumát. Az utóbbi kérdés áttekinthetőbb, hiányzik belőle a szárakon való kényszerű irányváltozás. Ha ugyanis -ből a kétféle útvonalon haladó egy-egy pont felé sugarat irányítunk, ez körül forog, és forgási iránya az eredeti útvonal esetén kétszer, az és -ben való irányváltozáskor ellentétesre fordul, míg a módosított útvonal esetén a forgási irány egyszer sem változik. Az és közötti legrövidebb útvonal az szakasz. Ez meg is felel az előírásnak, hiszen párhuzamos -vel, ennélfogva az szög szárai közé eső rész-szakaszára is áll; . Valóban, az háromszög egyenlő szárú, mert , továbbá szimmetriatengelye, az szög felezője, azonos az háromszög szimmetriatengelyével, az szög felezőjével, hiszen az szög a szögből úgy keletkezett, hogy mindkét szárán túl ugyanakkora szöget adtunk hozzá. A kérdés csak ez: van-e mindig -nek a szög szárai közé eső szakasza, metszi-e mindig az szakasz a , szár-szakaszokat egy-egy belső pontjukban? Ennek szükséges és elegendő feltétele, hogy az szög kisebb legyen -nál, vagyis hogy az szög kisebb legyen -nál. Ilyenkor az szárak nagyobbak az -alapnál. Megmutatjuk, hogy a további esetekben, vagyis ha és így , nincs a követelményeknek megfelelő minimális útvonal. Ugyanis -et nem választhatjuk a szár végpontjában, mert különben a rajta keresztül -vel párhuzamosan húzott egyenes -ből számára is -t adná. Így azonban az egyenes határozatlan, nem mondhatjuk róla, hogy párhuzamos -vel. ‐ Ha pedig a szárnak a -től különböző pontja, és -et ismét az -vel -en át húzott párhuzamossal metsszük ki -ből, akkor az útvonal nem minimális, mert van nála rövidebb, ilyen pl. a szakasz pontjával ugyanígy szerkesztett útvonal (2. ábra). 2. ábra Szimmetria folytán elég ezt az útvonalak felére, az , illetve összegekre megmutatni, ahol , az , szakasz felezőpontja. Ez nyilvánvaló akkor, ha , mert ilyenkor és . Ha , akkor is elég -ként a szakasz -n levő vetületének pontjaival foglalkozni, amelyekkel , és így ; különben ugyanis helyett is rövidebb útvonalat ad. Legyen ilyenkor az szakaszon az a pont, amelyre , továbbá vetülete -re , és vetülete -re . Ekkor az útszakasz többlete -hez képest , és hiánya -hez képest , így azt kell megmutatnunk, hogy . nyilván az szakaszon van, így . Másrészt , mert mindkét szakasz -nek vetülete, és az hajlásszög, mint az háromszög külső szöge, nagyobb -nál, az hajlásszög viszont legfeljebb , ugyanis pótszöge a szög felének, ami legalább , és nagyobb (de hegyes) hajlásszög esetén a vetület kisebb. ‐ Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Fekete Jenő (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.) | Megjegyzések: 1. Lényegében azonos a közölt megoldással a következő szerkesztés: tükrözzük az háromszög magasságát -re, és bocsássunk erre -ból merőlegest; ez metszi ki -n -et.
Katona Gyula (Budapest, Kandó K. híradásip. t. IV. o. t.) | 2. Felhasználva, hogy , és hogy , , egy egyenes pontjai, -et és megszerkesztése nélkül, a szárból az körül sugárral írt körrel is kimetszhetjük. Valóban, , az háromszög egyenlő szárú és így . Ha a minimum létezésének feltétele teljesül, akkor egyszersmind , tehát a szakaszon van.
Parti Enikő (Budapest, Bagi Ilona lg. III. o. t.) | 3. A legtöbb dolgozat esetére és mindegyikét -be helyezve -t adja meg minimumnak. II. megoldás: esetére a minimumhoz a következő meggondolással is eljuthatunk. Tegyük fel, hogy megtaláltuk a minimális útvonalat adó pontot. Húzzunk és -nek metszéspontján át -vel párhuzamost (1. ábra). belső pontja a háromszögnek, ezért az , a szakaszon van. Megmutatjuk, hogy a háromszög, amely bele van írva az háromszögbe, és amelynek kerülete képezi az útvonal középső szakaszát, talpponti háromszöge az egyenlő szárú háromszögnek. mindenesetre talppontja a -ből húzott magasságnak, mert benne van az egyenlő szárú trapéz szimmetria-tengelyében, amely az és egyenlő szárú háromszögeknek is tengelye. Ha már most és nem volna azonos az háromszög , -ból húzott magassága , ill. talppontjával, akkor annak az ismert tételnek az alapján, hogy a hegyesszögű háromszögbe beírt háromszögek közül a talpponti háromszög a legkisebb kerületű, az szakaszból álló útvonal rövidebb volna -nál, mert középső útszakasza rövidebb -nak középső szakaszánál, kezdő és végszakaszaikban pedig megegyeznek. És még rövidebb volna az útvonal, mert az háromszögben (amelynek csúcsai és különbözősége folytán nem esnek egy egyenesbe) , és ugyanígy . Márpedig az útvonal is megfelel a feladat követelményeinek, mert és a szakasznak belső pontjai, tehát rajta vannak a , száron, továbbá , mert az és derékszögű háromszögek egybevágók (az átfogó és két szög) így , tehát az háromszög is egyenlő szárú. Ellentmondásra jutottunk: az útvonal rövidebb a minimális -nál, helytelen tehát az a feltevés, hogy és , vagyis valóban talpponti háromszöge -nek. Mivel pedig az háromszög hasonló helyzetű -vel, és így ugyanez áll és talpponti háromszögeikre is, azért ezek alapján a minimális útvonal és szakaszait úgy szerkesztjük meg, hogy , -n át párhuzamost húzunk az háromszög talpponti háromszögének ill. oldalaival. Ismeretes, hogy , eszerint akkor és csak akkor lesz rajta -n, ha , vagyis .
Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) | III. megoldás: Legyen , és fejezzük ki az összeget az helyzetét meghatározó függvényeként. ( akkor és csak akkor van a szakaszon, ha egyrészt az háromszögből , másrészt az háromszögből . Az háromszögből , továbbá ennek alapján az háromszögből és
Ennek a függvénynek ugyanazon értéke mellett van a minimuma, mint a következőnek: | | ugyanis . Itt a nevező pozitív, a számláló nem negatív, tehát legkisebb értéke , amikor , , vagyis az háromszög egyenlő szárú. Ezzel az értékkel akkor teljesülnek a -re tett korlátozások, ha egyrészt , másrészt , vagyis , amiből .
Szatmári Gábor (Budapest, Piarista g. IV. o. t.) |
Lásd pl. Rademacher‐Toeplitz: Számokról és alakzatokról, 23‐31. o. Tankönyvkiadó, 1953. Középiskolai Szakköri Füzetek. |
|