Kezdőlap


Feladat:	939. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biborka Tamás , Kolonits Ferenc
Füzet:	1959/október, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/december: 939. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk be a bal oldalba az ismert szögek koszinuszait:

\begin{matrix} cos (5 π / 6) = cos 150^{\circ} = - \sqrt[]{3} / 2, cos π / 4 = 1 / \sqrt[]{2}, \end{matrix}

cos (5 π / 12) = cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = cos 45^{\circ} cos 30^{\circ} - sin 45^{\circ} sin 30^{\circ} = \sqrt[]{2} (\sqrt[]{3} - 1) / 4

, tehát a második tag együtthatója:

- (\sqrt[]{3} - 1)

. Figyelembe véve még a

cos 2 x = 2 c o s^{2} x - 1

azonosságot, egyenlőtlenségünk így alakul:

\begin{matrix} 2 cos^{2} x - (\sqrt[]{3} - 1) cos x - \sqrt[]{3} / 2 > 0, \end{matrix}

ill. a bal oldalt, mint

cos x

másodfokú kifejezését szorzattá alakítva, és (a pozitív) 2-vel egyszerűsítve:

\begin{matrix} (cos x + \frac{1}{2}) (cos x - \frac{\sqrt[]{3}}{2}) > 0. \end{matrix}

(1)

- 1 / 2

és

\sqrt[]{3} / 2

helyeknek, ahol a szorzat előjelelt válthat, mindketteje beleesik a

cos x

által felvehető értékek (

- 1

, 1) zárt intervallumába, így ezen végighaladva mindkét tényező előjelet vált. (1) fennáll, ha mindkét tényező egyenlő jelű, vagyis ha még a kisebb is pozitív, ill. ha még a nagyobb is negatív, azaz ha

\begin{matrix} vagy cos x - \frac{\sqrt[]{3}}{2} > 0, azaz cos x > \frac{\sqrt[]{3}}{2}, \\ vagy cos x + \frac{1}{2} < 0, azaz cos x < - \frac{1}{2} . \end{matrix}

cos u = \sqrt[]{3} / 2

, ill.

cos v = - 1 / 2

egyenleteket a (0,

2 π

) intervallumban

u_{1} = π / 6

és

u_{2} = 11 π / 6

, ill.

v_{1} = 2 π / 3

és

v_{2} = 4 π / 3

elégíti ki. Figyelembe véve még az

y = cos x

függvény menetét, célszerű lesz

u_{2}

helyett

u'_{2} = - π / 6

-ot használnunk. Ezek alapján az adott egyenlőtlenséget azok az

x

szögek elégítik ki, amelyekre

\begin{matrix} vagy - \frac{π}{6} + 2 k π < x < \frac{π}{6} + 2 k π, \\ vagy \frac{2 π}{3} + 2 k π < x < \frac{4 π}{3} + 2 k π, \end{matrix}

ahol

k

egész szám.

Bíborka Tamás (Makó, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Eredményünkhöz a

cos 2 x = 2 c o s^{2} x - 1

azonosság felhasználása és a 2-vel való osztás utáni

\begin{matrix} cos^{2} x - 2 cos \frac{π}{4} cos \frac{5 π}{12} cos x + \frac{1}{2} cos \frac{5 π}{6} > 0 \end{matrix}

alakból így is eljuthatunk: vegyük észre, hogy az együtthatók a

2 cos u cos v = cos (u + v) + cos (u - v)

és más azonosságok alkalmazásával így is írhatók:

\begin{matrix} - 2 cos \frac{π}{4} cos \frac{5 π}{12} = - cos (\frac{π}{4} + \frac{5 π}{12}) - cos (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{12}) = - (cos \frac{2 π}{3} + cos \frac{π}{6}), \\ \frac{1}{2} cos \frac{5 π}{6} = cos \frac{5 π}{6} cos \frac{π}{3} = (- cos \frac{π}{6}) (- cos \frac{2 π}{3}) = cos \frac{2 π}{3} cos \frac{π}{6}, \end{matrix}

és itt ugyanazon két koszinusz érték ellentett jelű összegével, ill. szorzatával állunk szemben, tehát (2) így is írható:

\begin{matrix} (cos x - cos \frac{2 π}{3}) (cos x - cos \frac{π}{6}) > 0. \end{matrix}

Innen a fenti megoldás szerint haladhatunk tovább.

Kolonits Ferenc (Budapest, Piarista g. IV. o. t.)