Kezdőlap


Feladat:	938. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szatmári Gábor
Füzet:	1959/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/december: 938. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a téglalap oldalainak hossza $x$ , $y$ és írjuk a félkört és a háromszöget az $x$ oldalak fölé. Mivel csak ugyanakkora $k$ kerületű $V$ ‐idomokat tekintünk, azért $x$ és $y$ közül csak egyik választható szabadon; legyen ez $x$ , akkor

\begin{matrix} 2 y + (\sqrt[]{2} + \frac{π}{2}) x = k -ból y = \frac{k}{2} - \frac{2 \sqrt[]{2} + π}{4} x . \end{matrix}

(1)

Így a terület

\begin{matrix} t = x y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} π}{8} = \frac{k x}{2} - \frac{(4 \sqrt[]{2} + π - 2) x^{2}}{8} . \end{matrix}

x

és

y

nem lehetnek negatívok, sőt

x = 0

-val is értelmét veszti a feladat (

y = 0

viszont még elfogadható), azért (1) figyelembevételével a terület

x

-nek

\begin{matrix} 0 < x \leq \frac{2 k}{2 \sqrt[]{2} + π} \end{matrix}

(2)

értékeire van értelmezve. Átalakításaink céljára rövidítsük a

4 \sqrt[]{2} + π - 2

számot

b

-vel; látható, hogy

b > 0

. Így

\begin{matrix} t = - \frac{b}{8} (x^{2} - \frac{4 k x}{b}) = - \frac{b}{8} {(x - \frac{2 k}{b})}^{2} + \frac{b}{8} \cdot \frac{4 k^{2}}{b^{2}} = \frac{k^{2}}{2 b} - \frac{b}{8} {(x - \frac{2 k}{b})}^{2}, \end{matrix}

és ez akkor maximális, ha a kivonandó tag 0, vagyis

x_{0} = 2 k / b

. Ez pozitív, másrészt kisebb (2) jobb oldalánál, mert

b = 2 \sqrt[]{2} + π + 2 (\sqrt[]{2} - 1) > 2 \sqrt[]{2} + π

, vagyis a maximum helye beletartozik az értelmezési tartományba. A maximális terület:

t_{max} = k^{2} / 2 b = k^{2} / (8 \sqrt[]{2} + 2 π - 4)

.
A maximális területet adó

x_{0}

természetesen egyenesen arányos

k

-val, így az

x_{0} / k = 2 / b

hányadost kizárólag a

V

-alakkal velejáró

\sqrt[]{2}

és

π

számok határozzák meg. Ugyanez nyilván a legnagyobb területű

V

‐idom bármely két hosszméretére is áll, számítsuk ki tehát

y / x

-et.

x_{0}

-ból (1) szerint

\begin{matrix} y_{0} = \frac{k}{2} - \frac{2 \sqrt[]{2} + π}{4} \cdot \frac{2 k}{b} = \frac{k}{2 b} (b - 2 \sqrt[]{2} - π) = \frac{x_{0}}{4} (2 \sqrt[]{2} - 2) = \frac{x_{0}}{2} (\sqrt[]{2} - 1), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{y_{0}}{x_{0}} = (\sqrt[]{2} - 1) / 2 = 0, 2071 ... \end{matrix}

Szatmári Gábor (Budapest, Piarista g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Az egyszerűnek adódott

y_{0} / x_{0}

arányból a maximális területű

V

-idom alakja megszerkeszthető (de maga az idom az adott

k

-ból nem!).