Kezdőlap


Feladat:	937. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mayer Géza
Füzet:	1959/október, 48 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Köbszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/december: 937. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Akár közvetlen kiszámítással, akár annak felhasználásával, hogy minden $n$ természetes számra¹

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = {(1 + 2 + 3 + ... + n)}^{2} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}, \end{matrix}

(1)

adódik, hogy a bal oldali törtek értéke

441 / 25 = {(21 / 5)}^{2}

, ill.

784 / 36 = {(28 / 6)}^{2}

. Ugyanennyi a jobb oldali törtek értéke is, mert közös nevezőre hozással és egyszerűsítéssel az

\begin{matrix} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \pm 2 = \frac{(a^{2} + b^{2} \pm 2 a b)}{a b} = \frac{{(a \pm b)}^{2}}{a b} \end{matrix}

(2)

azonosság-pár alapján²

{(a + b)}^{2} / {(a - b)}^{2} = {[(a + b) / (a - b)]}^{2}

alakúvá válnak és

a

b = 13

, 8, ill. 17, 11 mellett

a + b = 21

, ill. 28 és

a - b = 5

, ill. 6.
(1) alapján

\begin{matrix} \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{2}}{{(n - 1)}^{2}} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4 {(n - 1)}^{2}} = {(\frac{n (n + 1)}{2 (n - 1)})}^{2}, \end{matrix}

ennélfogva (2)-re tekintettel a kívánt alak céljára azokat az

a

b

számokat kell meghatároznunk, amelyekre

\begin{matrix} a + b = n (n + 1) és a - b = 2 (n - 1) . \end{matrix}

Ezek:

\begin{matrix} a = (n^{2} + 3 n - 2) / 2, b = (n^{2} - n + 2) / 2. \end{matrix}

(Pontosabban; elég arányukat meghatározni.) Eszerint a kívánt alak:

\begin{matrix} \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}}{{(n - 1)}^{2}} = \frac{\frac{n^{2} + 3 n - 2}{n^{2} - n + 2} + \frac{n^{2} - n + 2}{n^{2} + 3 n - 2} + 2}{\frac{n^{2} + 3 n - 2}{n^{2} - n + 2} + \frac{n^{2} - n + 2}{n^{2} + 3 n - 2} - 2} . \end{matrix}

Minthogy

n^{2} + 3 n - 2 = n (n + 3) - 2

és

n^{2} - n + 2 = n (n - 1) + 2

, és itt a szorzatok egyik tényezője páros, azért az utolsó alakban szereplő két‐két hányados legalább 2-vel egyszerűsíthető.

Mayer Géza (Budapest, Rákóczi F. g. IV. o. t.)

¹Bizonyítását lásd a 798. feladatban: KML. XV. kötet, 20. o. (1957 szeptember).

² Ha több, hasonló szerkezetű és csak számadatokban különböző több lépéses számítást kell végeznünk, célszerű ezt általában előkészíteni.