Kezdőlap


Feladat:	931. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Muszély György
Füzet:	1959/május, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Húrsokszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/november: 931. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$m = \sqrt[]{3} / 2$ , hat tizedesre $0, 866 025 r$ , így az első eljárás $0, 001743 \cdot 1000 / 0, 8678 = 2, 01^{0} /_{00}$ -kel hibás, a pontos értéket alulról közelíti meg.

Legyen a második eljárásban

D E

felezőpontja

G

. Ekkor

O G

párhuzamos

A C

-vel és

O G = C E / 2 = 5 s / 2

, ahol

s

a tetszés szerinti szakasz hossza. Az

F A E

és

F O G

háromszögek hasonlóságából, továbbá

O F + F A = r

-ből

O F = 5 A F / 4 = 5 r / 9

. (Eszerint

F

helyzete független

s

megválasztásától, ami a szerkesztés egyértelműsége érdekében várható is volt, mert ezután már nem használunk

s

-től függő elemet.) Ezután az

O F B

(vagy az

A F B

) háromszögből a

B O A ∢ = B A O ∢ = 60^{\circ}

-os szöggel szemben fekvő oldalként a koszinusztétellel

B F = r \sqrt[]{61 / 9}

, hat tizedesre kerekítve

0, 867 806 r

.
Ez az eljárás nagyobb eredményt ad a kelleténél, hibája

36 \cdot 10^{- 6}

10^{3} / 0, 868 < 0, 05^{0} /_{00}

, az előbbiének

40

-ed részét sem éri el, tehát jobb annál.

Muszély György (Bp. VIII., Vörösmarty M. g. III. o. t.)

Megjegyzések. I. A második eljárás hibájának csekély volta indokolja, hogy

6

tizedesre végeztük a számításokat. ‐ 2. Kézenfekvő kérdés, hogy véletlenül jöttek-e rá erre az eljárásra, vagy céltudatos munkával. Lehetséges, hogy az alábbi úton. A hétszög oldal hossza az első eljárás szerint kissé nagyobb

B H

-nál, ahol

H

O A

sugár felezőpontja (a második szerint viszont kisebb

B F

-nél, de ezt a kutatás kezdetén még nem tudjuk). Hol metszené már most a

H A

szakaszt a

B

körül a pontos hétszög oldalnyi sugárral írt kör? Ezt a pontot

J

-vel jelölve

H J^{2} = B J^{2} - B H^{2} = {0, 867768}^{2} r^{2} - 0, 75 r^{2} = (0, 753 021 - 0, 75) r^{2} = 0, 003 021 r^{2}

H J = 0, 054 96 r

O J = 0, 554 96 r

. Az együttható közel áll a

0, 555 ... = 5 / 9

törthöz, talán ez adta az eljárás alapgondolatát. A

B

pontnak ez a lényeges szerepe az eljárásban; az előkészítésben

B A

helyett más egyenes is használható.
Az

O A

-t

5 : 4

arányban osztó

F

pont kijelölésére választott szerkesztés szintén érdekes. Ebben a

C

-ről

D

-re való áttérés révén elkerülhetjük a szokásos eljárás párhuzamos szerkesztését.