Kezdőlap


Feladat:	930. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Fritz József , Gazsi Lajos , Posch Margit
Füzet:	1959/május, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/november: 930. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Kifejtés helyett igyekszünk áttérni olyan determináns értékének meghatározására, amely egyenlő értékű az eredetivel, és elemekként egyszerűbb kifejezéseket tartalmaz. Vonjuk ki evégett a $3$ -ik oszlopot a $4$ -ikből, ezután a $2$ -ik oszlopot a $3$ -ikból, végül az első oszlopot a $2$ -ikból. Ekkor

\begin{matrix} d = | \begin{matrix} a^{2} & 2 a + 1 & 2 a + 3 & 2 a + 5 \\ b^{2} & 2 b + 1 & 2 b + 3 & 2 b + 5 \\ c^{2} & 2 c + 1 & 2 c + 3 & 2 c + 5 \\ d^{2} & 2 d + 1 & 2 d + 3 & 2 d + 5 \end{matrix} | \end{matrix}

Itt a

3

-ik oszlopnak a

4

-ikhől, majd a

2

-iknak a

3

-ikból való kivonásával adódó új

3

-ik és

4

-ik oszlop megegyezik (minden elemük

2

), ennélfogva

D = 0

Pósch Margit (Bp. V., Veres Pálné lg. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Annak a determinánsnak is

0

az értéke, amely az adottból úgy áll elő, hogy a zárójelek

1

2

3

tagja helyére számtani sorozatot alkotó

t_{1}

t_{2}

t_{3}

, számokat írunk, tehát pl. a

2

-ik oszlop elemei

{(a + t_{1})}^{2}

{(b + t_{1})}^{2}

{(c + t_{1})}^{2}

{(d + t_{1})}^{2}

. Így ugyanis a fenti első átalakítás után az új oszlopokból rendre kiemelhetjük a

t_{1}

t_{2} - t_{1}

t_{3} - t_{2}

közös tényezőt ; ezután végezve a második átalakítást a

3

-ik és a

4

-ik oszlop négy-négy egyenlő elemből áll

(t_{2}, ill.t_{3}-t_{1})

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.)

2. Annak az

n

-ed rendű

(n > 4)

determinánsnak is

0

az értéke, amelynek minden egyes eleme egy-egy alap négyzete, az alapok az elsősorban

a_{1}, a_{1} + t_{1}, a_{1} + t_{2}, ..., a_{1} + t_{n - 1}

, ahol

t_{1}, t_{2}, ..., t_{n - 1}

számtani sorozatot alkotnak, ezekből a további sorok alapjait

a_{1}

-nek

a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}

-nel való helyettesítésével képezzük. (Bizonyítható teljes indukcióval.)

Gazsi Lajos (Kaposvár, Táncsics M. g. III. o. t.)

3. Több dolgozat a determináns definíciója szerinti kifejtéssel, igen hosszadalmas számítás után kapta, hogy

D = 0

. Ennél az eljárásnál még akkor is célszerűbb átalakítások útján alacsonyabb rendű determinánsokra áttérni, ha az elemek semmi szabályszerűséget sem mutatnak. (Itt viszont sok volt a szabályszerűség.) A kifejtési eljárás tennivalói: az egyes tagok tényezőinek összeállítása, a szorzások elvégzése, és a már elkészített, ill. a még hátralevő tagok nyilvántartása, mind nehezebb műveletek, mint pl. a kivonásokkal való átalakítások és a rendszám fokozatos csökkentése.

II. megoldás: Felhasználhatunk egy a determinánsok legismertebb alkalmazásaira vonatkozó általános tételt: ha egy

n

egyenletből álló,

n

ismeretlent tartalmazó homogén elsőfokú egyenletrendszernek van a triviális

0,0, ...,0

megoldástól különböző megoldása, akkor az egyenletrendszer determinánsának értéke

0

.¹
Lehet ugyanis felírni olyan négy egyenletből álló, négy ismeretlent tartalmazó homogén lineáris egyenletrendszert, amelynek determinánsa éppen az adott determináns, és amelynek van a triviálistól különböző megoldása; ennélfogva determinánsunk értéke

0

. Valóban, az

\begin{matrix} a^{2} x + {(a + 1)}^{2} y + {(a + 2)}^{2} z + {(a + 3)}^{2} v = 0 \\ b^{2} x + {(b + 1)}^{2} y + {(b + 2)}^{2} z + {(b + 3)}^{2} v = 0 \\ c^{2} x + {(c + 1)}^{2} y + {(c + 2)}^{2} z + {(c + 3)}^{2} v = 0 \\ d^{2} x + {(d + 1)}^{2} y + {(d + 2)}^{2} z + {(d + 3)}^{2} v = 0 \end{matrix}

rendszer teljesíti a tétel feltevéseit, mert egy nem triviális megoldása:

x = 1

y = - 3

z = 3

v = - 1

, mert

e

-n

a

b

c

d

bármelyikét értve:

\begin{matrix} e^{2} - 3 {(e + 1)}^{2} + 3 {(e + 2)}^{2} - {(e + 3)}^{2} = 0. \end{matrix}

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere J. Gyak. g. II. o. t.)

¹ Lásd pl. Scharnitzky Viktor: A determinánsokról, KML, XV., 87. o. (1957 november)