Kezdőlap


Feladat:	923. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Papp Éva
Füzet:	1959/április, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 923. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $| x | \neq 2$ , mert különben a tört kifejezésnek nincs értelme. Hogy a törtet eltávolíthassuk, figyelembe kell vennünk a nevező előjelét.
I. Tekintsük azokat az $x$ -eket, amelyekre $4 - x^{2} > 0$ , azaz $| x | < 2$ , másképpen $- 2 < x < 2$ . Ekkor (1)-et a nevezővel megszorozva a nagyságviszonyok változatlanok maradnak, azt keressük tehát, hogy a $- 2$ és $2$ közti $x$ -ek közül melyekre teljesül

\begin{matrix} - 4 + x^{2} ≦ x^{2} + 3 x - 1 < 4 - x^{2} . \end{matrix}

Az első rész követeléséből

- 4 ≦ 3 x - 1

, azaz

x ≧ - 1

; így már csak a

- 1 ≦ x < 2

értékekről lehet szó. A másodikéból:

2 x^{2} + 3 x - 5 < 0

, a bal oldal tényezőkre bontásával

(2 x + 5) (x - 1) < 0

. Itt az első tényező minden még szóba jövő

x

-re pozitív:

2 x + 5 ≧ - 2 + 5 = 3 > 0

, ezzel osztva

x - 1 < 0

x < 1

. ‐ Ezek szerint a

- 1 ≦ x < 1

értékek kielégítik (1)-et.
II. Ha pedig

4 - x^{2} < 0

, azaz

| x | > 2

, másképpen, ha

x < - 2

és

x > 2

, ‐ akkor a tört eltávolításával a nagyságviszonyok ellentétesre fordulnak,

x

-re teljesülnie kell:

\begin{matrix} - 4 + x^{2} ≧ x^{2} + 3 x - 1 > 4 - x^{2} . \end{matrix}

Innen, az előzőkhöz hasonlóan egyrészt

x ≦ - 1

; ezt minden

x < - 2

szám teljesíti, viszont az

x > 2

értékekről már nem lehet szó. Másrészt, mindjárt szorzat alakban

(2 x + 5) (x - 1) > 0

: itt a második tényező minden még szóba jövő

x

-re negatív, azzal osztva kell hogy álljon

2 x + 5 < 0

x < - 5 / 2

. Minthogy

- 2

és

- 5 / 2

közül az utóbbi a kisebb, azért a feltevésnek és (1)-nek az

x < - 5 / 2

számok felelnek meg.
Eszerint az adott egyenlőtlenségpárt egyrészt az

x < - 5 / 2

, másrészt a

- 1 ≦ x < 1

számok elégítik ki.

Papp Éva (Bp. VIII., Ságvári E. gyak. lg. IV. o. t.)

II. megoldás: Vizsgáljuk külön-külön az egyenlőtlenségpár két részét, redukáljuk mindegyiket

0

-ra, és alakítsuk a számlálót és nevezőt szorzattá. Ekkor azt kapjuk, hogy a következő két egyenlőtlenség mindegyikét kielégítő

x

-ek keresendők:

\begin{matrix} 0 ≦ \frac{x^{2} + 3 x - 1}{4 - x^{2}} + 1 = \frac{3 x + 3}{4 - x^{2}} = \frac{3 (x + 1)}{(2 - x) (2 + x)}, \end{matrix}

\begin{matrix} 0 > \frac{x^{2} + 3 x - 1}{4 - x^{2}} - 1 = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{4 - x^{2}} = \frac{(2 x + 5) (x - 1)}{(2 - x) (2 + x)} . \end{matrix}

Az első törtben szereplő tényezők a

- 2

- 1

, ill.

2

helyeken váltanak előjelet.

- 2

előtt két tényező negatív,

- 2

és

- 1

közt egy,

- 1

és

2

közt mindegyik pozitív,

2

fölött pedig egy tényező negatív. El kell még hagynunk a nevező

0

-helyeit, így az első egyenlőtlenség

x < - 2

és

- 1 ≦ x < 2

esetben teljesül.

A második törtben

- 2, 5

előtt három tényező negatív,

- 2, 5

és

- 2

közt kettő,

- 2

és

1

közt egy,

1

és

2

közt minden tényező pozitív,

2

fölött egy tényező negatív, így a tört akkor negatív (most nem lehet

0

), ha

x < - 2, 5

- 2 < x < 1

, vagy

x > 2

. A két egyenlőtlenség mindegyike, azaz (1) akkor teljesül, ha

x < - 2, 5

, vagy

- 1 ≦ x < 1