Kezdőlap


Feladat:	922. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bencsik István , Grünfeld Péter , Simonfai László
Füzet:	1959/április, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 922. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az (1) bal oldalának tényezői az $x$ és $y$ -nak szimmetrikus függvényei, várható tehát, hogy kifejezhetők $x + y$ és $x y$ -nal, az elemi szimmetrikus függvényekkel. Valóban
$x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y),$
$x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y,$

így (2) figyelembevételével (1)-ből $x y = w$ -re kapunk másodfokú egyenletet:

\begin{matrix} (8 - 6 x y) (4 - 2 x y) = 64, 3 w^{2} - 10 w - 8 = 0. \end{matrix}

(3)

Innen

w_{1} = - 2 / 3

w_{2} = 4

.
Ezeket (2)-hez hozzákapcsolva

x

y

-t az

\begin{matrix} u^{2} - 2 u + w = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei adják, ahol

u

x

és

y

bármelyikét jelentheti. Ebből

u_{1} = 1 \pm \sqrt[]{1 - w}

. Csak

w_{1}

-gyel kapunk valós megoldást, a két gyökpár

\begin{matrix} {\begin{matrix} x_{1} = 1 + \sqrt[]{5 / 3}, \\ y_{1} = 1 - \sqrt[]{5 / 3}; \end{matrix} és {\begin{matrix} x_{2} = y_{1}, \\ y_{2} = x_{1} . \end{matrix} \end{matrix}

Bencsik lstván (Bp. V., Eötvös J. g. III. o. t.)

II. megoldás: A (2) követelését így is mondhatjuk:

x

és

y

számtani közepe

1

. Ez azt is jelenti, hogy az egyik ugyanannyival nagyobb

1

-nél, mint amennyivel a másik kisebb

1

-nél.
Az eltérést

v

-veI jelölve:

\begin{matrix} x = 1 + v, y = 1 - v, \end{matrix}

(4)

és ezeket (l)-be beírva

v

-re egyismeretlenes, redukálható negyedfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} (2 + 6 v^{2}) (2 + 2 v^{2}) = 64, \end{matrix}

\begin{matrix} 3 v^{4} + 4 v^{2} - 15 = 0. \end{matrix}

(5)

Innen

{(v^{2})}_{1} = - 3

{(v^{2})}_{2} = 5 / 3

. Valós

v

-értéket csak az utóbbiból kapunk,

v = \pm \sqrt[]{5 / 3}

-dal a fenti

x

y

értékpárok adódnak.

Grünfeld Péter (Bp. IX., József A. gépip. t. III. o. t.)

III. megoldás: (2)-ből

y = 2 - x

-et (1)-be helyettesítve

x

-re az

\begin{matrix} x^{4} - 4 x^{3} + \frac{22}{3} x^{2} - \frac{20}{3} x - \frac{8}{3} = 0 \end{matrix}

negyedfokú egyenletet kapjuk. Itt az együtthatók teljesítik annak feltételét, hogy a bal oldal egy

x = z + λ

alakú helyettesítéssel

z^{4} + A z^{2} + B

alakra legyen hozható^{$^{*}$}, ugyanis

\begin{matrix} a^{3} - 4 a b + 8 c = - 64 + \frac{352}{3} - \frac{160}{3} = 0, \end{matrix}

éspedig

λ

megfelelő értéke:

λ = - a / 4 = + 1

. Az

x = z + 1

helyettesítéssel lényegében ismét (5)-re jutunk.

Simonfai László (Bp. II., Rákóczi F. g. IV. o. t.)

^{$^{*}$}Az

f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d

függvény akkor és csak akkor írható egy

x = z + λ

alakú helyettesítéssel

φ (z) = z^{4} + A z^{2} + B

alakba, ha

a^{3} - 4 a b + 8 c = 0

, és

λ

megfelelő értéke:

λ = - a / 4

(KML. XI. kötet 57. o., 656. feladat, 1955 október).