Kezdőlap


Feladat:	919. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató P. , Barabás Gy. , Bartha L. , Bender Cecilia , Bognár L. (Veszprém) , Bollobás B. , Brodszky Ildikó , Czékus L. , Dániel G. , Dobóvári Erzsébet , Dohán M. , Endrődy T. , Fejes L. , Fritz J. , Gaál S. , Gazsi L. , Grallert F. , Gyene A. , Hadik Z. , Hajna János , Halász Á. , Halász G. , Hammer G. , Harmat Anna , Horváth S. , Katona Gy. , Kisvölcsey J. , Klimó J. , Kolonits F. , Komlós J. , Losonczi L. , Máté Zs. , Mezey F. , Muszély Gy. , Náray Miklós (Bp.) , Papp Éva , Parti Enikő , Raisz Klára , Rátkay Zs. , S. Nagy Erzsébet , Simonfai L. , Soós S. , Sulyok Mária , Szász D. , Szatmári G. , Tatai P. , Tihanyi A. , Trón L. , Tusnády G. , Valkó J.
Füzet:	1959/április, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Tetraéder magasságpontja, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/szeptember: 919. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ tetraéder (jelöljük röviden $N$ -nel) $A_{i}$ csúcsával szemben fekvő lap súlypontja $S_{i}$ . $N$ -nek $S$ súlypontja az $A_{i} S_{i}$ súlyvonalat úgy negyedeli, hogy $S_{i} S = A_{i} S / 3$ , ezért a $S_{i}$ súlypontokkal meghatározott $N^{*}$ tetraéder előállítható $N$ -ből az $S$ középpontból való $1 / 3$ arányú kicsinyítéssel és az $S$ -re való tükrözéssel is. Ennélfogva ugyanez a transzformáció állítja elő $N^{*}$ -nak $G^{*}$ körülírt gömbjét és ennek $F$ középpontját a $N$ körül írt $G$ gömbből és ennek $O$ középpontjából (l. ábra).

1. ábra

Így

F

O S

szakasznak

S

-en túli,

T

felé való meghosszabbításán van, és

F S = O S / 3 = T S / 3

, vagyis

F

S T

szakasznak

S

-hez közelebbi harmadolópontja, továbbá

G^{*}

és

G

-nek

F S_{i}

, ill.

O A_{i}

sugaraira

F S_{i} = O A_{i} / 3

(az állítás 2. része). Másrészt

T F = T S - F S = 2 T S / 3 = T O / 3

, vagyis

F

egyszersmind a

T O

szakasznak

T

-hez közelebbi harmadolópontja (az állítás 1. része).
Az eddig bebizonyítottak szerint

G^{*}

G

-ből egyszerűbben, tükrözés nélkül is előállítható, éspedig a

T

középpontból való

1 / 3

arányú kicsinyítéssel, ugyanis

S

a két gömbnek belső,

T

pedig külső hasonlósági pontja. Ebben a transzformációban az

A_{i}

pont megfelelője a

T A_{i}

szakasznak

T

-hez közelebbi

T_{i}

harmadolópontja; és mivel

G

átmegy

A_{i}

-n, azért

G^{*}

valóban átmegy

T_{i}

-n (az állítás 3. része).
Legyen végül

N

-nek az

A_{i}

-vel szemben fekvő lapján ‐ amelyen

S_{i}

is van ‐

T_{i}

-nek merőleges vetülete

T_{i}'

; még azt kell megmutatnunk, hogy ezen is átmegy

G^{*}

(2. ábra).

2. ábra

T_{i}'

egybeesik

S_{i}

-vel, akkor nincs mit bizonyítanunk. Az ellentétes esetben

S_{i}

T_{i}

és

T_{i}'

derékszögű háromszöget alkotnak,

S_{i} T_{i}

T_{i}'

-ből derékszög alatt látszik, így Thales tételének megfordítása alapján

T_{i}'

S_{i} T_{i}

átmérőjű gömbön van. Ez azonban éppen

G^{*}

, mert a fenti két kicsinyítésben az

F S_{i}

és

F T_{i}

sugarak mindegyikének

O A_{i}

felel meg, ezek tehát párhuzamosak és mivel

F

pontjuk közös, így egymásnak meghosszabbításai, tehát

S_{i} T_{i}

átmérője

G^{*}

-nek.

Hajna János (Pécs, Széchenyi I. g. III. o. t.)

Megjegyzések: 1. A

T_{i}

pontokkal meghatározott tetraéder

N

-nek

T

-ből

1 / 3

arányú kicsinyítettje és

N^{*}

-nak

S

-re vonatkozó tükörképe.
2. Ha a tetraéder ortocentrikus, akkor

T

M

magasságpontba esik és a

G^{*}

gömb az első Feuerbach-féle gömb. Ekkor

T_{i}

A_{i} T \equiv A_{i} M

magasságvonalnak pontja, tehát

T_{i}'

azonos

A_{i}

-nek a szemben fekvő lapon való

A_{i}'

vetületével, a magasságvonal talppontjával, az

A_{i}

-vel szemközti lap

M_{i}

magasságpontjával. Könnyen belátható, hogy fordítva, ha valamennyi

T_{i}'

egybeesik

A_{i}'

-vel, akkor

T_{i}' \equiv M_{i}

, és a tetraéder ortocentrikus,

T

a magasságpont.