Kezdőlap


Feladat:	916. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dániel Gábor , Mezey Ferenc
Füzet:	1959/április, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Eltolás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/szeptember: 916. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A második egyenlet gyökeit $x_{1}$ , $x_{2}$ -vel jelölve az első egyenlet gyökei $x_{1} + 1$ és $x_{2} + 1$ . Így a gyökök és az együtthatók összefüggései alapján az $x_{1}$ , $x_{2}$ , $p$ és $q$ ismeretlenekre négy egyenletet írhatunk fel:

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = q, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + 2 = p^{2}, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = x_{1} x_{2} + (x_{1} + x_{2}) + 1 = p q . \end{matrix}

(4)

(1) és (2) figyelembevételével (3) és (4)-ből

p

és

q

-ra a következő egyenlet-rendszert kapjuk:

\begin{matrix} - p + 2 = p^{2}, \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} q - p + 1 = p q . \end{matrix}

(6)

(5)-ből

p_{1} = - 2

p_{2} = 1

, a (6)-ból átalakítással adódó

\begin{matrix} (p - 1) (q + 1) = 0 \end{matrix}

(6a)

egyenletből pedig

p_{1}

-gyel

q_{1} = - 1

p_{2}

-vel viszont az egyenlet bármely

q

számra teljesül.
Az első esetben az adott egyenletek így alakulnak:

x^{2} - 4 x + 2 = 0

és

x^{2} - 2 x - 1 = 0

, gyökeik

2 \pm \sqrt[]{2}

, ill.

1 \pm \sqrt[]{2}

, és ezek valóban teljesítik a követelményt.
Ugyanez áll a második esetben az

x^{2} - x + q = 0

és

x^{2} + x + q = 0

egyenletek

(1 \pm \sqrt[]{1 - 4 q}) / 2

, ill.

(- 1 \pm \sqrt[]{1 - 4 q}) / 2

gyökeire. Ezek akkor és csak akkor valósak, ha

1 - 4 q ≧ 0

, azaz

q ≦ 1 / 4

Dániel Gábor (Bp. VIII., Piarista g. IV. o. t.)

II. megoldás: Az (5), (6) egyenletrendszerhez grafikus meggondolással is eljuthatunk. Az adott egyenletek hal oldalát mint másodfokú függvényt ábrázoló két parabola egyrészt egybevágó, mert

x^{2}

együtthatójának abszolút értéke mindkettőben

1

, másrészt egyforma állású, mert ezen együtthatók előjelben is egyeznek, mindkettőnek alul van a csúcsa.

Így egymásból (párhuzamos) eltolással is előállíthatók. Az eltolás nagysága a gyökökre, mint a parabolák és az

X

-tengely metszéspontjainak abszcisszáira előírt követelmény folytán éppen

1

egységnyi az

X

-tengellyel párhuzamosan, éspedig az első egyenlet bal oldalát ábrázoló parabola

1

egységgel jobbra van eltolva a másikhoz képest (l. az ábrát). Ekkor pedig az első egyenlet bal oldalán álló függvény

y = {(x - 1)}^{2} + p (x - 1) + q = x^{2} - (2 - p) x + (1 - p + q)

alakban is felírható, és ez akkor és csak akkor azonos az

y = x^{2} - p^{2} x + p q

függvénnyel, ha tagról tagra megegyeznek. Az (5), (6) rendszer éppen ezt, az elsőfokú tag együtthatójának, ill. az állandó tagnak egyenlőségét követeli.

Mezey Ferenc (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)