Kezdőlap


Feladat:	912. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Flanek László , Várhelyi Judit
Füzet:	1959/március, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/szeptember: 912. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott $P (a, b, c)$ kifejezést kifejtve a $\pm 3 x^{2} y z$ típusú hat tag kiesik ‐ itt $x$ , $y$ , $z$ valamely sorrendben $a$ , $b$ , $c$ -t jelöli ‐, (ellenőrizzék ezt olvasóink a ,,fejbeli'' számolás gyakorlására a tagok leírása nélkül; a Szerk.), a megmaradó hat tagot pedig $c$ hatványai szerint rendezve, majd az egyenlő kitevőjű hatvány‐különbségeket szorzattá alakítva kiemelhetjük az $(a - b)$ tényezőt:

\begin{matrix} P (a, b, C) & = (b - a) c^{3} + (a^{3} - b^{3}) c + a b (b^{2} - a^{2}) = \\ = (a - b) [- c^{3} + (a^{2} + a b + b^{2}) c - a b (a + b)] . \end{matrix}

Most a nagy zárójel tagjait

a

hatványai szerint átrendezve kiemelhetjük

(b - c)

-t:

\begin{matrix} P (a, b, c) & = (a - b) [(c - b) a^{2} + b (c - b) a + c (b^{2} - c^{2})] = \\ = (a - b) (b - c) [- a^{2} + a b + c (b + c)] . \end{matrix}

Végül a nagy zárójelben

b

szerint rendezve kiemelhetjük

(c - a)

-t:

\begin{matrix} P (a, b, c) & = (a - b) (b - c) [(c - a) b + (c^{2} - a^{2})] = \\ = (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c), \end{matrix}

és evvel a kifejezést

a

b

és

c

négy elsőfokú polinomjának szorzataként írtuk fel, további felbontás már nem lehetséges.

Várhelyi Judit (Bp. I., Építőanyagipari technikum IV.o. t)

II. megoldás: A

P (x, b, c)

kifejezésnek, mint

x

polinomjának az

x = b

és

x = c

helyek 0-helyei:

\begin{matrix} P (b, b, c) & = b {(b - c)}^{3} + b {(c - b)}^{3} = 0, \\ c (c, b, c) & = c {(b - c)}^{3} + c {(c - b)}^{3} = 0, \end{matrix}

eszerint

x

helyett újra

a

-t írva a kifejezésből

a - b

és

a - c

kiemelhető.
Hasonló meggondolással adódik, hogy a kifejezésből

b - a

és

b - c

, ill.

c - a

és

c - b

is kiemelhető. A kapott hat tényezőből azonban kettő‐kettő csak előjelben tér el, tehát három lényegesen különböző tényezőt kaptunk.
Másrészt látjuk, hogy

a

b

c

helyére

b

c

a

-t, majd

c

a

b

-t írva a kifejezés nem változik meg. Hogy ez a tulajdonság a fenti tényezők kiemelése után is látható maradjon, vegyük első tényezőnek

a - b

-t, a további kettőnek pedig a belőle a fenti helyettesítésekkel adódó;

b - c

és

c - a

különbségeket. A kiemelt

Q (a, b, c) = (a - b) (b - c) (c - a)

szorzat éppenúgy homogén kifejezése

a

b

c

-nek, mint

P (a, b, e)

, fokszámuk 3, ill. 4, ennélfogva

P (a, b, c)

-nek

Q (a, b, c)

-vel való osztása hányadosként egy ugyancsak homogén

R (a, b, c)

kifejezésre vezet, amelynek fokszáma

4 - 3 = 1

. Legyen ebben

a

b

c

együtthatója rendre

A

B

C

, azaz

R (a, b, c) = A a + B b + C c

. A fenti helyettesítéseknek ezt is önmagába kell átvinniük. Abból a követelésből, hogy

\begin{matrix} A a + B b + C c = A b + B c + C a = A c + B a + C b \end{matrix}

azonosság legyen, azaz bármely,

a

b

c

értékrendszerre fennálljon, következik (pl.

a = 1

b = c = 0

helyettesítéssel), hogy

A = B = C

, így

R (a, b, c) = A (a + b + c)

és

\begin{matrix} P (a, b, c) = A (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c) . \end{matrix}

Végül pl.

a^{3}

bal és jobb oldali együtthatójának megegyezéséből

- b + c = - A (b - c)

, azaz

A = 1

és

\begin{matrix} P (a, b, c) = (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c) . \end{matrix}

Flanek László (Bp. I., Toldy F. g. III. o. t.)

Megjegyzés.

P (x, b, c)

mint

x

-nek polinomja harmadfokú. Harmadik 0-helyét megkeresve is kapunk egy kiemelhető tényezőt (sőt ez a következetes folytatása az első két tényező megállapításának). Az I. megoldás szerint

P (x, b, c)

kifejtett alakjában

x^{2}

együtthatója 0, eszerint a

P (x, b, c) = 0

egyenlet gyökeinek összege 0, így

x_{1} = b

és

x_{2} = c

-ből

x_{3} = - b - c

, a harmadik gyöktényező:

a - x_{3} = a + b + c

. A gyöktényezős alak céljára

x^{3}

együtthatója az I. megoldás első rendezéséhez hasonlóan

c - b

, így

P (a, b, c) = (c - b) (a - b) (a - c) (a + b + c)

, és ebből a fenti szimmetrikus alak

{(- 1)}^{2}

-nel való szorzás útján adódik.

III. megoldás: Az átalakítások megkönnyítésére igyekezzünk a különbségek helyett, amelyeknek köbe szerepel, egy‐egy betűt vezetni be. Mivel

(b - c) + (c - a) + (a - b) = 0

, így kettővel a harmadik már kifejezhető. Legyen tehát

b - c = m

c - a = n

, ekkor

a - b = - m - n

, és az első két egyenlőségből

b

-t és

a

-t kifejezve az adott kifejezést

c

m

és

n

polinomjává alakíthatjuk:

a = c - n

b = c + m

, és az adott kifejezés:

\begin{matrix} (c - n) m^{3} + (c + m) n^{3} - c {(m + n)}^{3} = [m^{3} + n^{3} - {(m + n)}^{3}] c + m n (n^{2} - m^{2}) = \\ = - 3 m n (m + n) c + m n (m + n) (n - m) = m n (m + n) (- 3 c + n - m), \end{matrix}

végül az eredeti változókra visszatérve:

\begin{matrix} - (b - c) (c - a) (a - b) (- 3 c + c - a - b + c) = \\ = (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c) . \end{matrix}