Feladat: 907. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fanta Katalin ,  Surguta László 
Füzet: 1959/február, 52 - 53. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Parabola egyenlete, Egyenes, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/május: 907. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsük adottnak a parabolát i irányvonalával és F fókuszával, legyen továbbá F vetülete i-n F'; ekkor a parabola O csúcsa az FF' szakasz felezőpontja, t tengelye pedig az FF' egyenes.

 
 

Vizsgáljuk a feladatban leírt egyenesek P metszéspontjának mértani helyét abban a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek origója O, X-tengelye az OF egyenes, hosszúságegysége az OF szakasz, F koordinátái (1, 0), így a parabola paramétere p=2 egység, és egyenlete y2=4x.
Válasszuk segédváltozónak az OM egyenes m iránytangensét. Ekkor M koordinátái, mint a parabola és az y=mx egyenes O-tól különböző metszéspontjáé: M(4/m2, 4/m). Minden (valós) m≠0 értékhez egy és csak egy M pont tartozik; és megfordítva minden az O-tól különböző M ponthoz egy és csak egy m érték, az OM egyenes iránytényezője. m=0 esetén y=mx-nek a parabolával csak egy közös pontja van: O, ez azonban nem választható M-nek, mert így az OM egyenes nincs egyértelműen meghatározva.
Az OM egyenesre O-ban emelt merőleges egyenlete: y=-x/m, az M-en át a parabola tengelyével húzott párhuzamosé: y=4/m, és ezekből P koordinátái (-4, 4/m), vagyis P abszcisszája m-től független, állandó, valamennyi P pont rajta van az x=-4 egyenlettel jellemzett, az i-vel párhuzamos e egyenesen. A mértani hely e azon pontjainak összessége, amelyeknek y=4/m ordinátája valamely megengedett m-mel kiadódik.
Minthogy pedig az m=0 érték kivételével minden m-re értelmezett y=4/m függvény értékkészletébe a 0 kivételével minden szám beletartozik, azért a keresett mértani hely a 0 ordinátájú (-4, 0) pontot, F-nek e-n levő vetületét kivéve e-nek valamennyi pontját tartalmazza.
Visszatérve a feladat tiszta geometriai (koordinátamentes) fogalmazására, a keresett mértani helyet úgy kapjuk, hogy vesszük azt az i-vel párhuzamos egyenest, amelynek i-től, ill. F-től való távolsága 3/2-szerese, ill. 5/2-szerese a parabola paraméterének, és belőle kihagyjuk a parabola tengelyével való T metszéspontot.
 

Fanta Katalin (Szombathely, Kanizsai Dorottya lg. IV. o. t.)
 

II. megoldás: Hogy a keresett mértani helynek minden pontja ugyanakkora távolságban van az irányvonaltól, ill. az ezzel párhuzamos csúcsérintőtől, éspedig ennek a parabolával ellentétes oldalán, ezt a koordinátageometria és a ,,tiszta'' geometria módszereinek egymás melletti alkalmazásával a következőképpen is beláthatjuk. Legyen (a fenti jelölések kiegészítéséül) az M-en át a tengellyel párhuzamos egyenesnek a parabola csúcsérintőjével (az Y tengellyel) való metszéspontja N. Az OMP derékszögű háromszögben ON2=PN⋅NM. Itt NM és ON az M pont koordinátái a fent használt rendszerben, azaz y2=PN⋅x. Ezt a parabola egyenletével egybevetve PN=4, állandó, vagyis a mértani hely minden pontja 4 egységnyi távolságban van a csúcsérintőtől ‐ éspedig a csúcsérintőnek a parabolával ellentétes oldalán, mert az ON magasság az átfogó P és M végpontjait szétválasztja, ‐ vagyis a fent látott e∥i egyenesen. Az e-nek T pontja nem tartozik hozzá a mértani helyhez, mert T-n át a tengellyel húzott párhuzamos a parabolát O-ban metszi, és így OM iránya határozatlan, P megszerkesztését nem végezhetjük el. Viszont e-nek minden a T-től különböző P* pontja hozzátartozik a mértani helyhez; ugyanis a P*-on át a t-vel párhuzamosan húzott egyenes egy az O-tól különböző M-ben metszi a parabolát és ehhez az M-hez P* tartozik.
 

Surguta László (Gyöngyös, Vak Bottyán g. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Sok dolgozat a parabola egyenletét y2=2px alakban használta. Így is ugyanahhoz az eredményhez jutunk. Az I. megoldásban azt láttuk, hogy ha egy geometriai kérdés felvetése után helyezünk koordinátarendszert az alakzatra, akkor nemcsak a tengelyek helyzetét, hanem a hosszegységet is szabadon választhatjuk. Természetesen célszerű az alakzatban előforduló szakaszok valamelyikét választani.