A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Minthogy a kívánt hatványkitevő: , azért kézenfekvő a -ik hatványokhoz négy egymásutáni négyzetre emeléssel eljutni. Nem szükséges az , , gyököket kiszámítani, mert összegüket, páronkénti szorzataik összegét és szorzatukat (szokásos nevükön elemi szimmetrikus függvényeiket) megadják az egyenlet együtthatói, és ezek a számításhoz elegendők. A számítás menetét előzetesen általában az egyenlettel kapcsolatban mutatjuk be, amelynek , , gyökeire a polinom alakkal azonos gyöktényezős alak kifejtésével való összehasonlítás révén
Az összeg tagjai szerepelnek négyzetében, de mellettük áll még a páronkénti szorzatok összegének kétszerese, ennélfogva | | (3) | Ennek alapján , , helyett mindkét oldalon , , -et írva | | adódik, amiből látjuk, hogy szükségünk lesz a gyökök négyzeteiből képezhető páronkénti szorzatok összegére is. Ezt (1) bal oldalának négyzetéből képezhetjük a mellette fellépő tagok levonásával; éspedig
amiben már (2) bal oldalát is használjuk, vagyis mindhárom elemi szimmetrikus függvényt. A nyolcadik hatványok összegének hasonló számításához , , -nak mindhárom elemi szimmetrikus függvényére van szükség, a -ik hatványok összegének számításához pedig , , -nak mindhárom elemi szimmetrikus függvényére. Mindezek alapján adott egyenletünkre | | ezekből (3) és (4) alkalmazásával, valamint négyzetreemeléssel | | e három számból ugyanígy | | hasonlóan (3) és (4) alkalmazásával | | (a szorzatra már nem lesz szükség); végül e két számból már csak (3) alkalmazásával | |
Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth L. g. III. o. t.) | II. megoldás: Felhasználva, hogy a gyökök kielégítik az egyenletet, a gyökök magasabb hatványait helyettesíthetjük alacsonyabb hatványaik polinomjaival. A gyököket , , -mal jelölve , vagyis . Ezt -gyel szorozva, majd négyzetreemelve
újabb négyzetreemeléssel
Az -es index helyére -t, majd -at írva; végül összegezve (ugyanis ugyanezek és -ra is érvényesek) | | és itt a zárójeles összegeket az I. megoldás módján számítva a keresett összeg értéke
Ágh Attila (Bp. V., Eötvös J. g. III. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az I. megoldás eljárása ‐ jelentősen általánosabbá és gépiessé téve ‐ egyik lényeges szakaszát teszi az ún. Gräffe‐Lobacsevszkij-féle eljárásnak, amely bárhányadfokú algebrai egyenletek közelítő megoldására használatos. 2. Hogy számításunknak biztosan legyen értelme a középiskolai fokon ismert valós számok körében, ahhoz meg kellett volna győződnünk, hogy mindhárom gyök valós. Ezt az függvény ábrázolására, pontosabban grafikonjának folytonosságára gondolva (hogy ti. grafikonjának bármely két pontja közti íve úgy rajzolható meg, hogy az íróeszközt nem emeljük fel a papírról) avval valószínűsítjük, hogy , azaz negatív, (pozitív), , és , ennélfogva a grafikon és , továbbá és , majd és között metszi az tengelyt, tehát e számközök mindegyikében van egy valós gyök, mindhárom gyök valós. |