Kezdőlap


Feladat:	906. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágh Attila , Tusnády Gábor
Füzet:	1959/február, 50 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Hatványösszeg, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 906. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Minthogy a kívánt hatványkitevő: $16 = 2^{4}$ , azért kézenfekvő a $16$ -ik hatványokhoz négy egymásutáni négyzetre emeléssel eljutni. Nem szükséges az $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ gyököket kiszámítani, mert összegüket, páronkénti szorzataik összegét és szorzatukat (szokásos nevükön elemi szimmetrikus függvényeiket) megadják az egyenlet együtthatói, és ezek a számításhoz elegendők. A számítás menetét előzetesen általában az

\begin{matrix} y^{3} + a y^{2} + b y + c = 0 \end{matrix}

egyenlettel kapcsolatban mutatjuk be, amelynek

y_{1}

y_{2}

y_{3}

gyökeire a polinom alakkal azonos

(y - y_{1}) (y - y_{2}) (y - y_{3}) = 0

gyöktényezős alak kifejtésével való összehasonlítás révén

\begin{matrix} y_{1} + y_{2} + y_{3} = - a, \\ y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3} = b, & (1) \\ y_{1} y_{2} y_{3} = - c . & (2) \end{matrix}

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

összeg tagjai szerepelnek

y_{1} + y_{2} + y_{3}

négyzetében, de mellettük áll még a páronkénti szorzatok összegének kétszerese, ennélfogva

\begin{matrix} y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} = {(y_{1} + y_{2} + y_{3})}^{2} - 2 (y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3}) . \end{matrix}

(3)

Ennek alapján

y_{1}

y_{2}

y_{3}

helyett mindkét oldalon

y_{1}^{2}

y_{2}^{2}

y_{3}^{2}

-et írva

\begin{matrix} y_{1}^{4} + y_{2}^{4} + y_{3}^{4} = {(y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2})}^{2} - 2 (y_{1}^{2} y_{2}^{2} + y_{1}^{2} y_{3}^{2} + y_{2}^{2} y_{3}^{2}) \end{matrix}

adódik, amiből látjuk, hogy szükségünk lesz a gyökök négyzeteiből képezhető páronkénti szorzatok összegére is. Ezt (1) bal oldalának négyzetéből képezhetjük a mellette fellépő tagok levonásával; éspedig

\begin{matrix} y_{1}^{2} y_{2}^{2} + y_{1}^{2} y_{3}^{2} + y_{2}^{2} y_{3}^{2} & = {(y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3})}^{2} - 2 y_{1}^{2} y_{2} y_{3} - 2 y_{1} y_{2}^{2} y_{3} - 2 y_{1} y_{2} y_{3}^{2} = & (4) \\ = {(y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3})}^{2} - 2 y_{1} y_{2} y_{3} (y_{1} + y_{2} + y_{3}), \end{matrix}

amiben már (2) bal oldalát is használjuk, vagyis mindhárom elemi szimmetrikus függvényt.
A nyolcadik hatványok összegének hasonló számításához

y_{1}^{2}

y_{2}^{2}

y_{3}^{2}

-nak mindhárom elemi szimmetrikus függvényére van szükség, a

16

-ik hatványok összegének számításához pedig

y_{1}^{4}

y_{2}^{4}

y_{3}^{4}

-nak mindhárom elemi szimmetrikus függvényére.
Mindezek alapján adott egyenletünkre

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = - 3, x_{1} x_{2} x_{3} = - 1; \end{matrix}

ezekből (3) és (4) alkalmazásával, valamint négyzetreemeléssel

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = - 2 (- 3) = 6, x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} x_{3}^{2} + x_{2}^{2} x_{3}^{2} = {(- 3)}^{2} = 9, x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} = 1; \end{matrix}

e három számból ugyanígy

\begin{matrix} x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} = 6^{2} - 2 \cdot 9 = 18, x_{1}^{4} x_{2}^{4} + x_{1}^{4} x_{3}^{4} + x_{2}^{4} x_{3}^{4} = 9^{2} - 2 \cdot 6 = 69, x_{1}^{4} x_{2}^{4} x_{3}^{4} = 1; \end{matrix}

hasonlóan (3) és (4) alkalmazásával

\begin{matrix} x_{1}^{8} + x_{2}^{8} + x_{3}^{8} = 18^{2} - 2 \cdot 69 = 186, x_{1}^{8} x_{2}^{8} + x_{1}^{8} x_{3}^{8} + x_{2}^{8} x_{3}^{8} = 69 - 2 \cdot 18 \cdot 1 = 4725; \end{matrix}

(a szorzatra már nem lesz szükség);
végül e két számból már csak (3) alkalmazásával

\begin{matrix} x_{1}^{16} + x_{2}^{16} + x_{3}^{16} = 186^{2} - 2 \cdot 4725 = 25 146. \end{matrix}

Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth L. g. III. o. t.)

II. megoldás: Felhasználva, hogy a gyökök kielégítik az egyenletet, a gyökök magasabb hatványait helyettesíthetjük alacsonyabb hatványaik polinomjaival. A gyököket

x_{1}

x_{2}

x_{3}

-mal jelölve

x_{1}^{3} - 3 x_{1} + 1 = 0

, vagyis

x_{1}^{3} = 3 x_{1} - 1

.
Ezt

x_{1}

-gyel szorozva, majd négyzetreemelve

\begin{matrix} x_{1}^{4} = 3 x_{1}^{2} - x_{1}, \\ x_{1}^{8} = 9 x_{1}^{4} - 6 x_{1}^{3} + x_{1}^{2} = 9 (3 x_{1}^{2} - x_{1}) - 6 (3 x_{1} - 1) + x_{1}^{2} = 28 x_{1}^{2} - 27 x_{1} + 6, \end{matrix}

újabb négyzetreemeléssel

\begin{matrix} x_{1}^{16} = {(28 x_{1}^{2} - 27 x_{1} + 6)}^{2} = 784 x_{1}^{4} - 1512 x_{1}^{3} + 1065 x_{1}^{2} - 324 x_{1} + 36 = \\ = 784 (3 x_{1}^{2} - x_{1}) - 1512 (3 x_{1} - 1) + 1065 x_{1}^{2} - 324 x_{1} + 36 = \\ = 3417 x_{1}^{2} - 5644 x_{1} + 1548. \end{matrix}

1

-es index helyére

2

-t, majd

3

-at írva; végül összegezve (ugyanis ugyanezek

x_{2}

és

x_{3}

-ra is érvényesek)

\begin{matrix} x_{1}^{16} + x_{2}^{16} + x_{3}^{16} = 3417 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) - 5644 (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 4644, \end{matrix}

és itt a zárójeles összegeket az I. megoldás módján számítva a keresett összeg értéke

\begin{matrix} 3417 \cdot 6 + 4644 = 25 146. \end{matrix}

Ágh Attila (Bp. V., Eötvös J. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az I. megoldás eljárása ‐ jelentősen általánosabbá és gépiessé téve ‐ egyik lényeges szakaszát teszi az ún. Gräffe‐Lobacsevszkij-féle eljárásnak, amely bárhányadfokú algebrai egyenletek közelítő megoldására használatos.
2. Hogy számításunknak biztosan legyen értelme a középiskolai fokon ismert valós számok körében, ahhoz meg kellett volna győződnünk, hogy mindhárom gyök valós. Ezt az

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

függvény ábrázolására, pontosabban grafikonjának folytonosságára gondolva (hogy ti. grafikonjának bármely két pontja közti íve úgy rajzolható meg, hogy az íróeszközt nem emeljük fel a papírról) avval valószínűsítjük, hogy

f (- 2) = - 1

, azaz negatív,

f (- 1) = + 3

(pozitív),

f (0) = + 1 > 0

f (1) = - 1 < 0

és

f (2) = 3 > 0

, ennélfogva a grafikon

- 2

és

- 1

, továbbá

0

és

1

, majd

1

és

2

között metszi az

x

tengelyt, tehát e számközök mindegyikében van egy valós gyök, mindhárom gyök valós.