Kezdőlap


Feladat:	904. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sárközy András , Simon László
Füzet:	1959/január, 24 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 904. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Minden valóban másodfokú egyenlet $x^{2} + p x + q = 0$ alakra hozható. Feladatunk olyan összefüggés megállapítása $p$ és $q$ között, amely mellett $x_{2} = x_{1}^{2}$ teljesül. Mindenekelőtt feltesszük, hogy egyenletünknek vannak valós gyökei, azaz

\begin{matrix} p^{2} - 4 q \geq 0. \end{matrix}

(1)

x_{2} = x_{1}^{2}

követelésből az ismert összefüggések alapján következik, hogy az ,,első'' gyök és az együtthatók között egyidejűleg fennállnak az

\begin{matrix} x_{1} + x_{1}^{2} & = - p és & (2) \\ x_{1}^{3} & = q & (3) \end{matrix}

egyenlőségek, innen kell

x_{1}

-et kiküszöbölnünk. Ezek szerint

q

-nak annyinak kell lennie, amennyi a (2)-ből számított

x_{1} = (- 1 \pm \sqrt[]{1 - 4 p}) / 2

gyökök valamelyikével

x_{1}^{3}

értéke, ill.

p

-nek annyinak kell lennie, amennyi a (3)-ból számított

x_{1} = \sqrt[3]{q}

-val

x_{1} + x_{1}^{2}

értéke. Az utóbbi módon

x_{1}

egyértelműen meg van határozva, ugyanis (3)-nak csak egy (valós) szám tesz eleget, így a keresett szükséges feltétel a következő:

\begin{matrix} \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}} + p = 0. \end{matrix}

(4)

Ez egyszersmind elegendő feltétel is, ugyanis a

p = - (\sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}})

-tel adódó

\begin{matrix} x^{2} - (\sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}}) x + q = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei

\sqrt[3]{q}

és

\sqrt[3]{q^{2}}

, ‐ erről észszerűen és ezért egyszerűbben a

q = \sqrt[3]{q} \cdot \sqrt[3]{q^{2}}

, azonosságra gondolva a bal oldalnak

(x - \sqrt[3]{q}) (x - \sqrt[3]{q})

szorzattá alakításával, vagy gépiesen, ezúttal bonyolultabban a megoldóképlet használatával győződhetünk meg ‐, és az utóbbi gyök valóban négyzete az előbbinek.

Simon László (Bp. XI., József A. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Számos megoldó köbre emelte a

- p = \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}}

egyenlőséget és így a

- p^{3} = q + 3 \sqrt[3]{q q^{2}} (\sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{q^{2}}) + q^{2} = q - 3 p q + q^{2}

, másképpen

p^{3} - 3 p q + q^{2} + q = 0

feltételre jutott. Valóban, ez is szükséges feltétele, leszármaztatható velejárója követelményünk teljesülésének, ámde annak megmutatása már bonyolult, hogy ennek fennállása elegendő is

x_{2} = x_{1}^{2}

(vagy

x_{1} = x_{2}^{2}

) teljesüléséhez. Hozzájárulhatott ehhez az átalakításhoz az is, hogy sokan egyszerűbbnek tartják az olyan kifejezéseket, amelyekben nincs gyökjel. Ebben azonban nemegyszer szinte ,,gondolkodás nélkül'' járnak el, mindennél fontosabb feladatnak véve a gyökjel, vagy a tört ,,eltüntetését''. ‐ A gyökökkel való foglalkozás kezdetén valóban sűrűn emlegetjük a hatványozással való ellenőrzést, a definíciót; kívánatos azonban, hogy ezt ‐ legalább megoldóinknál ‐ mihamarabb mellőzni lehessen. Csak úgy válnak használhatóvá az új fogalmak, amelyekről beláttuk, hogy szükségesek, ha nem igyekszünk őket minden lehető alkalommal kerülni.
2. A gyökmentes feltételre jutottak azok is, akik a követelményt a gyökképletekkel írták fel, majd a bonyolult egyenlőséget rendezték és eközben négyzetreemelést is végeztek. Ez a köbreemeléssel szemben már nem ekvivalens átalakítás, az út visszafelé nem járható!
3. Az átalakított feltételre vezet a következő megoldás is, de ebből is, mint a dolgozatok nagyobb részéből, csak a feltétel szükségessége adódik.

II. megoldás: Ha az

x_{1}

és

x_{2} = x_{1}^{2}

számok gyökei az

a x^{2} + b x + c = 0

egyenletnek, amelyben

\begin{matrix} a \neq 0 és b^{2} - 4 a c \geq 0, \end{matrix}

(5)

akkor

\begin{matrix} a x_{1}^{2} + b x_{1} + c & = 0 és & (6) \\ a x_{1}^{4} + b x_{1}^{2} + c & = 0, & (7) \end{matrix}

és a keresett feltételt ezekből

x_{1}

kiküszöbölésével kell előállítanunk. (6)-nak (7)-ből való kivonásával, vagyis lényegében

c

-nek átmenetileg való kiküszöbölésével

\begin{matrix} a x_{1}^{2} (x_{1}^{2} - 1) + b x_{1} (x_{1} - 1) = x_{1} (x_{1} - 1) (a x_{1}^{2} + a x_{1} + b) = 0. \end{matrix}

(8)

x_{1} = 0

-val és

x_{1} = 1

-gyel is teljesül, azonban innen az

x_{1} (x_{1} - 1)

tényezőt nemcsak szabad mellőznünk, hanem kell is; ugyanis erre a két számra, és csak ezekre

x_{1}^{2} = x_{1}

, ezek mellett tehát (6) és (7) nem fejezik ki azt a követelésünket, hogy

x_{1}

és

x_{2} = x_{1}^{2}

egyenletünk gyökeit, azaz mindkét gyökét jelentsék. Az

x_{1} = 0

és

x_{1} = 1

különleges esetek vizsgálatára viszont még vissza kell térnünk.
Most már a (8)-ból megmaradó

\begin{matrix} a x_{1}^{2} + a x_{1} + b = 0 - \end{matrix}

ból és (6)-ból a négyzetes tagot kiküszöbölve

\begin{matrix} (a - b) x_{1} + (b - c) = 0. \end{matrix}

(9)

Ha evvel egy csapásra az

x_{1}

-ben elsőfokú tag is kiesett volna, azaz

a - b = 0

volna, akkor

b - c = 0

is teljesülne, tehát

a = b = c

. Ezt az esetet mellőzhetjük, mert az

a x^{2} + a x + a = 0

egyenletnek nincs (valós) gyöke. Eszerint (9)-ből

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c - b}{a - b}, \end{matrix}

és ennek (6)-ba behelyettesítésével, rendezés után a keresett szükséges feltétel:

\begin{matrix} a^{2} c + a c^{2} - 3 a b c + b^{3} = 0, \end{matrix}

(10)

vagy

a = 1

b = p

c = q

-val

\begin{matrix} q + q^{2} - 3 p q + p^{3} = 0. \end{matrix}

Visszatérve az

x_{1} = 0

és

x_{1} = 1

esetekre, ezekkel az

x_{2} = 0^{2} = 0

, ill.

x_{2} = 1^{2} = 1

követelésünk csak akkor teljesül, ha ezek kétszeres gyökök, vagyis ha az egyenlet

a x^{2} = 0

, ill.

a {(x - 1)}^{2} = a x^{2} - 2 a x + a = 0

. A közvetlen ellenőrzés mutatja, hogy (10) mindkét esetre teljesül.

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Annyi előnyt mégis mutat ez a megoldás az első mellett, hogy kiemeli azt a két számot, amely követelményünk szempontjából külön figyelmet érdemel. ‐ A nyert feltétel elegendő volta legegyszerűbben a gyökök és együtthatók közti összefüggés felhasználásával látható be. Ezzel (10) bal oldala így írható:

a^{3} x_{1} x_{2} + a^{3} x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 a^{3} (x_{1} + x_{2}) x_{1} x_{2} - a^{3} {(x_{1} + x_{2})}^{3} =

= a^{3} (x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1}^{3} - x_{2}^{3}) = a^{3} [x_{1} (x_{2} - x_{1}^{2}) + x_{2}^{2} (x_{1}^{2} - x_{2})] =

= a^{3} (x_{1} - x_{2}^{2}) (x_{2} - x_{1}^{2})

Ez valóban csak úgy lehet az

a \neq 0

esetben 0, ha

x_{1} = x_{2}^{2}

, vagy

x_{2} = x_{1}^{2}