Feladat: 901. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha László ,  Csanak György 
Füzet: 1959/január, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Vetítések, Körérintési szerkesztések, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/április: 901. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Adataink, valamint a parabolára vonatkozó ismereteink alapján a keresett v vezéregyenesről két megállapítást tehetünk: 1. a parabola definíciója folytán az adott P-től PF-nyi távolságban van (F a fókuszt jelenti), vagyis érinti a P körüli PF sugarú k1 kört; 2. átmegy F-nek az adott e érintőre való F' tükörképén. Eszerint v-t az említett tükörképből az említett körhöz húzható érintők adják meg. (1. ábra.)

 
 

A megoldhatóság feltételeit, ill. a megoldások számát kézenfekvő szerkesztésünk utolsó szakaszából kiolvasni, azonban ezeket következtetéssel az adatok közti feltételekké írhatjuk át. Szemléletes fogalmazásban: 2, 0, ill. 1 megoldás van aszerint, hogy F' a P körüli PF sugarú körre nézve külső, ill. belső pont, ill. rajta van a körön. Szakaszok nagyságviszonyára átírva: 2, 0, ill. 1 megoldás van aszerint, hogy F'-nek P-től való PF' távolsága nagyobb, ill. kisebb PF sugárnál, ill. egyenlő vele. Végül ismét szemléletesen: minthogy akkor és csak akkor áll
 


e-nek ugyanazon oldalán van, mint  F,PF'⋛PF, ha  P   e-nek ugyanazon oldalán van, mint  F,e-nek  F-fel ellentétes oldalán van,e-n rajta van,  
 


azért 1, 2, ill. 0 megoldás van aszerint, hogy e átmegy P-n, ill. nem megy át rajta és nem választja szét a P, F pontpárt, ill. nem megy át P-n és szétválasztja a P, F pontpárt.
Minthogy itt felmerült az adott elemek közti esetleges illeszkedés kérdése, megjegyezzük, hogy más illeszkedés ‐ ti. olyan, amelyben F szerepelne ‐ nem jöhet szóba, mert parabolának pontja nem eshet a fókuszba és érintője nem mehet át a fókuszon.
 

Csanak György (Debrecen, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
 

II. megoldás: Megszerkeszthetjük v-t a parabola c csúcsérintőjének felhasználásával is abból, hogy v párhuzamos c-vel és átmegy F-nek c-re vonatkozó F* tükörképén. A csúcsérintőt abból kaphatjuk meg, hogy ez a mértani helye a fókuszból az érintőre bocsátott merőleges talppontjának. Adataink alapján F-nek az e-re, valamint a P-beli érintőre való vetületével foglalkozhatunk. e-n F-nek T vetületét megszerkesztve megkaptuk c-nek egy pontját; F-nek a P-beli érintőre való P1 vetületéről pedig azt tudjuk, hogy rajta van a PF átmérőjű k2 Thales‐körön (2. ábra).
 
 

Megmutatjuk, hogy c-nek nem lehet két különböző közös pontja k2-vel. Ha ugyanis feltesszük, hogy P1 és P'1 c-nek és k2-nek két különböző közös pontja volna, akkor ezek mindegyikére állana: FP1P∢=FP'1P∢=90∘, így az egymástól különböző P1P és P'1P egyenesek mindegyike érintené a parabolát, éspedig P-ben, holott a parabolának minden pontjában pontosan egy érintője van. Eszerint c-t valóban csak a T-ből k2-höz húzott érintők adhatják meg.
A szerkeszthetőség feltételének és a megoldások számának vizsgálatát mellőzhetjük, ugyanis k2 és T az I. megoldásbeli k1 és F'-ből az F pont körüli 1/2-szeres nyújtással jönnek létre, ugyanez áll tehát c és v-re, és így e vizsgálat puszta ismétlése lenne az I. megoldás diszkussziójának.
 

Bartha László (Balassagyarmat, Balassi B. g. III. o. t)