Kezdőlap


Feladat:	900. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kolonits Ferenc , Leipniker Péter
Füzet:	1959/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/április: 900. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vegyük észre, hogy $9^{\circ} + 81^{\circ} = 27^{\circ} + 63^{\circ} = 90^{\circ}$ ; ennek alapján a $b$ bal oldalt $9^{\circ}$ és $27^{\circ}$ szinuszával és koszinuszával kifejezve, majd összevonásokkal és ismert azonosságok alkalmazásával

\begin{matrix} b = (\frac{sin 9^{\circ}}{cos 9^{\circ}} + \frac{cos 9^{\circ}}{sin 9^{\circ}}) - (\frac{sin 27^{\circ}}{cos 27^{\circ}} + \frac{cos 27^{\circ}}{sin 27^{\circ}}) = \frac{1}{sin 9^{\circ} cos 9^{\circ}} ‐ \frac{1}{sin 27^{\circ} cos 27^{\circ}} = \\ = \frac{2}{sin 18^{\circ}} - \frac{2}{sin 54^{\circ}} = \frac{2 (sin 54^{\circ} - sin 18^{\circ})}{sin 18^{\circ} sin 54^{\circ}}, \end{matrix}

folytatólag a

sin u cos v = \frac{1}{2} [sin (u + v) - sin (v - u)]

azonosságnak jobbról bal felé

u + v = 54^{\circ}

v - u = 18^{\circ}

, azaz

u = 18^{\circ}

v = 36^{\circ}

-kal való alkalmazásával

\begin{matrix} b = \frac{4 sin 18^{\circ} cos 36^{\circ}}{sin 18^{\circ} sin 54^{\circ}} = \frac{4 cos 36^{\circ}}{sin 54^{\circ}} = \frac{4 sin 54^{\circ}}{sin 54^{\circ}} = 4, \end{matrix}

és evvel bizonyításunkat befejeztük.

Leipniker Péter (Makó, József A. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Átalakításunk második szakaszát helyettesíthetjük avval, hogy beírjuk

18^{\circ}

és

54^{\circ}

színuszának

(\sqrt[]{5} \mp 1) : 4

értékét; ezekkel az első szakasz utolsó törtjében a számláló értéke 1, a nevezőé

1 / 4

II. megoldás: Felhasználhatjuk átalakításunkban a fenti észrevételen túl annak következő átrendezését is:

27^{\circ} - 9^{\circ} = 81^{\circ} - 63^{\circ} = 18^{\circ}

. Így alkalmas zárójelezés után az említett különbségek színuszának, majd

9^{\circ} + 27^{\circ}

koszínuszának felismerésével

\begin{matrix} b = (\frac{sin 9^{\circ}}{cos 9^{\circ}} - \frac{sin 27^{\circ}}{cos 27^{\circ}}) + (\frac{sin 81^{\circ}}{cos 81^{\circ}} - \frac{sin 63^{\circ}}{cos 63^{\circ}}) = - \frac{sin 18^{\circ}}{cos 9^{\circ} cos 27^{\circ}} + \frac{sin 18^{\circ}}{sin 9^{\circ} sin 27^{\circ}} = \\ = \frac{sin 18^{\circ} (- sin 9^{\circ} sin 27^{\circ} + cos 9^{\circ} cos 27^{\circ})}{sin 9^{\circ} cos 9^{\circ} sin 27^{\circ} cos 27^{\circ}} = \frac{4 sin 18^{\circ} cos 36^{\circ}}{sin 18^{\circ} sin 54^{\circ}}, \end{matrix}

ez az alak pedig már az előbbi átalakítás során is fellépett.

Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. III. o. t.)