Kezdőlap


Feladat:	897. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ujtelki Anna
Füzet:	1958/december, 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/április: 897. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kifejezésünk tagjai háromtagú mértani sorozatot alkotnak $1$ -gyel mint kezdő taggal és $a^{5}$ hányadossal, ennélfogva a kifejezés $a^{5} \neq 1$ (azaz $a \neq 1$ ) esetén az ismert összegképlettel, majd az egyenlő kitevőjű hatványok különbségére vonatkozó azonosság ismételt alkalmazásával így alakítható:

\begin{matrix} 1 + a^{5} + a^{10} = \frac{{(a^{5})}^{3} - 1}{a^{5} - 1} = \frac{{(a^{3})}^{5} - 1^{5}}{a^{5} - 1^{5}} = \frac{(a^{3} - 1) (a^{12} + a^{9} + a^{6} + a^{3} + 1)}{(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1)} = \\ = \frac{(a - 1) (a^{2} + a + 1) (a^{12} + a^{9} + a^{6} + a^{3} + 1)}{(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1)} = \\ = (a^{2} + a + 1) \frac{a^{12} + a^{9} + a^{6} + a^{3} + 1}{a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1} . \end{matrix}

Az utolsó alakbeli hányadosban az osztást végrehajtva polinomot kapunk, ennek alapján

\begin{matrix} a^{10} + a^{5} + 1 = (a^{2} + a + 1) (a^{8} - a^{7} + a^{5} - a^{4} + a^{3} - a + 1) \end{matrix}

és ezzel eleget tettünk a feladat követelésének.
Átalakításunk az

a = 1

esetre nem érvényes, viszont a közvetlen behelyettesítés mutatja, hogy az egyenlőség erre a kivételes esetre is fennáll.

Ujtelki Anna (Veszprém, Lovassy L. g. III. o. t.)