Kezdőlap


Feladat:	896. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1959/február, 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/április: 896. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kevés próbálgatással rájöhetünk, hogy az $1$ és $7$ szám megfelel a feltételnek. Valóban

\begin{matrix} 1 = 1^{2} = 2 \cdot 1^{2} - 1; 7 = 2 \cdot 2^{2} - 1, 7^{2} = 2 \cdot 5^{2} - 1. \end{matrix}

Megjegyzés. Azt nem tudjuk, hogy van-e ezeken kívül is megoldás. A feladat olyan

x

y

z

egész számok keresését kívánja, amelyekre teljesülnek az

\begin{matrix} x = 2 y^{2} - 1, x^{2} = 2 z^{2} - 1 \end{matrix}

egyenletek. Az elsőből

x

-et a másodikba helyettesítve a keletkező egyenlet

\begin{matrix} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2} - 1)}^{2} = z^{2} \end{matrix}

alakra hozható, vagyis a feltételeket kielégítő

y

és

z

értékekkel

y^{2}

y^{2} - 1

z

pythagoraszi számhármast alkotnak. Ezek ismert tulajdonságait felhasználva a további megoldások keresése olyan

r

és

s

egészek keresésére vezethető vissza, amelyekre teljesül a

4 r^{2} s^{2} - 1 = 4 r^{4} - s^{4}

vagy más alakban

{(2 r^{2} - s^{2})}^{2} - 2 {(s^{2})}^{2} = - 1

egyenlet. (Ezekkel

y

és

z

y = 2 r s

z = 4 r^{4} + s^{4}

alakban fejezhető ki.) Az egyenlet egy megoldása

r = s = 1

. (Ez vezet a fönti

x = 7

értékhez.) Nem tudjuk, van-e az egyenletnek más megoldása is. Azt tudjuk, hogy az

u^{2} - 2 v^{2} = - 1

egyenletnek végtelen sok egész

(u, v)

megoldása van, van olyan is, amelyikben

v

négyzetszám (pl.

239

169

, de ezek összege nem négyzetszám kétszerese).
A versenyzők nagy része különböző téves bizonyításokat adott arra, hogy a fönti két megoldáson kívül más nincs. Mindazokat a megoldásokat helyesnek fogadtuk el (3 pont), amelyek a fenti két számértéket tartalmazzák; számuk 35; további 37 dolgozat hiányos (1 pont).