Kezdőlap


Feladat:	893. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kis Papp László
Füzet:	1958/december, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/március: 893. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Főátlóját ,,függőlegesre'' állítva látjuk, hogy $D$ a Pascal-féle számháromszög egyetlen ,,csúcsából'' kihasított ,,négyzet'', oldalának ,,hossza'' $n + 1$ ,,egység''. Eszerint elemei a szokásos jelölésekkel így írhatók:

\begin{matrix} a_{j k} = (\binom{j + k - 2}{k - 1}) j, k = 1, 2, ..., n + 1, \end{matrix}

másképpen: első sorában és első oszlopában minden elem

1

, és a Pascal-háromszög ismert tulajdonsága folytán minden további elem a fölötte és a tőle balra álló elem összege, azaz

\begin{matrix} a_{1 i} = a_{i 1} = 1, & ha i = 1, 2, ..., n + 1, \\ a_{j k} = a_{j - 1, k} + a_{j, k - 1}, & ha j, k = 2, 3, ..., n + 1. \end{matrix}

Ha tehát (az első kivételével) minden sorból kivonjuk a fölötte állót ‐ az utolsó soron kezdve és visszafelé haladva ‐, akkor a változatlan első sor alatt minden elem helyébe a tőle eredetileg balra álló elem kerül ‐ ha ti. van tőle balra álló elem ‐, az új első oszlopnak pedig, az első kivételével, minden eleme

0

. Az új determináns elemeit

b_{j k}

-val jelölve:

\begin{matrix} b_{1 i} = 1, ha i = 1, 2, ..., n + 1, \\ b_{r,1} = 0, ha r = 2, 3, ..., n + 1, \\ b_{j k} = a_{j k} - a_{j - 1, k} = a_{j, k - 1}, ha j, k = 2, 3, ..., n + 1. \end{matrix}

Ezt az átalakítást úgy is lehet jellemezni, hogy a determinánsnak a változatlan első sor alatti része egy oszloppal jobbra tolódik, és ebben az alsó részben az utolsó oszlop kiesik, a megüresedő első oszlop elemei pedig zérusok. Jegyezzük még meg, hogy a főátlóban

b_{11} = b_{22} = a_{21} = 1

.
Ismételjük meg ezt az átalakítást úgy, hogy csak a második sor alatti sorok mindegyikéből vonjuk le a fölötte levőt. Ekkor a determináns érintett részében ismét jobbratolódás következik be, továbbá az első oszlopban az első elem, a második oszlopban a második elem alatt csupa zérus áll, és a főátló első három eleme

1

lesz.
Ezt az átalakítást folytatva

n - 1

lépés után olyan determinánshoz jutunk, amelyben a főátló minden eleme

1

, és a főátló alatt minden elem zérus. Így a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzata, azaz

1

Kis Papp László (Pécs, Bányaip. t. III. o. t.)