Kezdőlap


Feladat:	891. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elbert Árpád , Kristóf László , Lőrinczy László , Nagy Elemér , Tatai Péter
Füzet:	1958/november, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Magasabb fokú egyenletek, Paraméteres egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/március: 891. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tegyük fel, hogy az $x = a$ szám az adott egyenletnek kétszeres gyöke. Ekkor az egyenlet baloldala Bézout tétele szerint maradék nélkül osztható ${(x - a)}^{2}$ -nel. Már most az $(x^{5} - 5 x + c) : (x^{2} - 2 a x + a^{2})$ osztásban a hányados $x$ -től független tagjával végzett műveletszakasz után a hányados: $x^{3} + 2 a x^{2} + + 3 a^{2} x + 4 a^{3}$ és a maradék $5 (a^{4} - 1) x - (4 a^{5} - c)$ . E polinomnak azonosan el kell tűnnie, ennélfogva $a$ és $c$ között olyan összefüggéseknek kell állnia, amelyek mellett mindkét együtthatója $0$ :

\begin{matrix} 5 (a^{4} - 1) = 0 és 4 a^{5} - c = 0. \end{matrix}

Az elsőből

a^{4} = 1

, eszerint kétszeres gyökként (valós értékekre szorítkozva) csak az

\begin{matrix} a_{1} = 1, a_{2} = - 1 \end{matrix}

számok jöhetnek szóba és ezekkel a második egyenletből a keresett

c

értékek

\begin{matrix} c_{1} = 4 a_{1}^{5} = 4 a_{1} = 4, c_{2} = - 4. \end{matrix}

Nagy Elemér (Bp. I., Toldy F. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Ha

x = a

kétszeres gyöke az adott egyenletnek, akkor az egyenlet bal oldala felírható az

{(x - a)}^{2}

másodfokú és valamely harmadfokú polinom szorzataként (ebben

x^{3}

együtthatója

1

\begin{matrix} x^{5} - 5 x + c = (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (x^{3} + b x^{2} + d x + e) : x^{5} + (b - 2 a) x^{4} + \\ + (d - 2 a b + a^{2}) x^{3} + (e - 2 a d + a^{2} b) x^{2} + (- 2 a e + a^{2} d) x + a^{2} e . \end{matrix}

A két oldal azonos egyenlősége alapján a megfelelő együtthatók megegyezéséből

a

b

c

d

e

-re a következő öt egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} b - & 2 a & = 0, & (1) \\ d - & 2 a b & + a^{2} & = 0, & (2) \\ e - & 2 a d & + a^{2} b & = 0, & (3) \\ - & 2 a e & + a^{2} d & = - 5, & (4) \\ a^{2} e & = c . & (5) \end{matrix} \end{matrix}

Itt (1)-ből

b = 2 a

, ezt (2)-be beírva

d = 3 a^{2}

, ezzel (3)-ból

e = 4 a^{3}

d

és

e

-vel (4)-ből

a^{4} = 1

, végül

e

-vel (5)-ből

c = 4 a^{5}

, vagyis

a

és

c

-re ezúton is az I. megoldásbeli eredményekhez jutottunk, a megoldás az ott látott módon fejezhető be.

Elbert Árpád (Kaposvár, közg. t. IV. o. t.)

III. megoldás: Bebizonyítjuk, hogy a

\begin{matrix} g (x) = x^{n} - n a^{n - 1} x + a^{n} (n - 1) = 0 \end{matrix}

egyenletnek

x = a

kétszeres gyöke; másképpen:

g (x)

osztható

{(x - a)}^{2}

-nel. Alakítsuk át

g (x)

-et:

\begin{matrix} g (x) = x^{n} - a^{n} - n a^{n - 1} x + n a^{n} = (x^{n} - a^{n}) - n a^{n - 1} (x - a) = \\ = (x - a) (x^{n - 1} + a x^{n - 2} + a^{2} x^{n - 3} + ... + a^{n - 2} x + a^{n - 1} - n a^{n - 1}) . \end{matrix}

A második zárójelbeli polinom értéke

x = a

esetén

0

, tehát az Bézout tétele szerint osztható

(x - a)

-val, ennélfogva

g (x)

valóban osztható

{(x - a)}^{2}

-nel.
Adott egyenletünk bal oldalának első két tagja

g (x)

első két tagjának speciális esete

n = 5

és

- 5 a^{4} = - 5

, azaz

a^{4} = 1

-gyel, vagyis (valós értékekre szorítkozva)

a = 1

-gyel és

a = - 1

-gyel. A tétel következménye akkor érvényes egyenletünkre, ha a megfelelés a harmadik tagok között is fennáll, vagyis ha

c = 4 a^{5}

, azaz

c = 4

ill.

c = - 4

Lőrinczy László (Szolnok, Verseghy F. g. IV. o. t.)

Tatai Péter (Bp. XIV. I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés: Általában bizonyítható, hogy az

x^{5} + a x + c = 0

egyenletnek akkor és csak akkor van többszörös gyöke, ha

{(\frac{c}{4})}^{4} + {(\frac{a}{5})}^{5} = 0

.¹ Esetünkben

a = - 5

, tehát

c = 4

Kristóf László (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. IV. o. t.)

¹Lásd pl. Szele Tibor: Bevezetés az algebrába (Egyetemi tankönyv) Tankönyvkiadó, 1953, 220. o.