Kezdőlap


Feladat:	888. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Porzsolt Éva
Füzet:	1958/november, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/március: 888. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ sorozat hányadosa $q$ ; feltevés folytán $q > 0$ . Legyen továbbá $lg a_{1} = b$ és $lg q = d$ ; feltevés folytán $q \neq 1$ és így $d \neq 0$ . Ekkor $k = 1$ , $2$ , $...$ , $n$ -re

\begin{matrix} lg a_{k} = lg (a_{1} q^{k - 1}) = lg a_{1} + (k - 1) lg q = b + (k - 1) d, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} S_{n} = x^{b} + x^{b + d} + x^{b + 2 d} + ... + x^{b + (n - 1) d} = x^{b} (1 + x^{d} + x^{2 d} + ... + x^{(n - 1) d}) . \end{matrix}

A zárójelben egy mértani sor összege áll. Mivel ennek

x^{d}

hányadosa a feltevések folytán

1

-től különböző, alkalmazhatjuk az ismert összegképletet:

\begin{matrix} S_{n} = x^{b} \frac{x^{n d} - 1}{x^{d} - 1} . \end{matrix}

Végül, az adatok használatára visszatérve

d = lg q = lg a_{2} - lg a_{1}

, és így

\begin{matrix} S_{n} = x^{lg a_{1}} x^{n} \end{matrix}

Porzsolt Éva (Nyíregyháza, Kölcsey F. g. III. o. t.)

Megjegyzések: Akár az

x \neq 1

kikötést, akár

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

különbözőségének előírását elejtve az összegképlet nem használható, viszont

S_{n}

jóval egyszerűbben fejezhető ki, mert valamennyi tagja egyenlő.

x = 1

mellett

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

-től függetlenül

S_{n} = n

(

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

pozitívságát azonban itt is kihasználtuk, mert

lg a_{1}

lg a_{2}

...

lg a_{n}

csak így létezik);

x \neq 1

a_{1}

a_{2}

...

a_{n} (> 0)

esetén pedig

S_{n} = n x^{lg a_{1}}

x

pozitív voltát látszólag nem használtuk ki. Ezt csak avégett kötötte ki a feladat, hogy

S_{n}

tagjainak akkor is mindig legyen értelme, ha a kitevőbeli logaritmusok között irracionális szám lép fel. Az alábbi átalakítás során

lg x

létezésében élesen kihasználjuk, hogy

x > 0

\begin{matrix} x^{lg a_{1}} = {(10^{lg x})}^{lg a_{1}} = {(10^{lg a_{1}})}^{lg x} = a_{1}^{lg x}, \end{matrix}

ugyanígy

x^{lg a_{2}} = a_{2}^{lg x}

, és így

\begin{matrix} S_{n} = a_{1}^{lg x} + a_{2}^{lg x} + ... + a_{n}^{lg x} = a_{1}^{lg x} \frac{{(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{n lg x} - 1}{{(\frac{a_{2}}{a_{1}})}^{lg x} - 1} = \frac{a_{2}^{n lg x} - a_{1}^{n lg x}}{a_{1}^{n lg x} (a_{2}^{lg x} - a_{1}^{lg x})} . \end{matrix}