Kezdőlap


Feladat:	885. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagymajtényi Emőke
Füzet:	1958/november, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 885. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott determináns értékét $D_{n}$ -nel. Vonjuk ki $n$ -edik oszlopából az $n - 1$ -edik oszlopot, majd az így kapott determináns $n - 1$ -edik oszlopából az $n - 2$ -ediket, és így tovább, végül a $2$ -ik oszlopából az elsőt. Ekkor

\begin{matrix} D_{n} = | \begin{matrix} b & a - b & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & b - a & a - b & 0 & ... & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ a & 0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & b - a & a - b & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & b - a & a - b \\ a & 0 & 0 & 0 & ... & ... & 0 & 0 & 0 & b - a \end{matrix} | \end{matrix}

Ha most az

n

-edik sort hozzáadjuk az

n - 1

-edik sorhoz, majd az így kapott determináns

n - 1

-edik sorát az

n - 2

-edikhez, és így tovább, végül a kapott determináns

2

-ik sorát az elsőhöz, akkor olyan determinánst kapunk, amelyben a főátló fölött minden elem

0

. A főátló első eleme

b + (n - 1) a

, minden további eleme

(b - a)

‐ szám szerint

n - 1

db, ‐ így ezek szorzataként

\begin{matrix} D_{n} = [b + (n - 1) a] {(b - a)}^{n - 1} \end{matrix}

Nagymajtényi Emőke (Szeged, Ságvári E. g. II. o. t.)