Kezdőlap


Feladat:	884. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krokovai Gizella , Pődör Bálint
Füzet:	1958/november, 106 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 884. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Könnyebb az egyenlőtlenség vizsgálata, ha egyik oldalán $0$ áll, mert így tulajdonképpen előjelet vizsgálhatunk. Vonjuk ki evégett a jobb oldalból a balt. Így közös nevezőre hozás után a számlálóban két tényezős, majd kiemelésekkel négy tényezős szorzathoz jutunk, és az ismét két tényezősként írható:

\begin{matrix} 0 < 1 - \frac{{(x y + 1)}^{2}}{{(x + y)}^{2}} = \frac{{(x + y)}^{2} - {(x y + 1)}^{2}}{{(x + y)}^{2}} = \frac{(x + y + x y + 1) (x + y - x y - 1)}{{(x + y)}^{2}} = \\ = \frac{(x + 1) (y + 1) (x - 1) (1 - y)}{{(x + y)}^{2}} = - \frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{{(x + y)}^{2}} . & (1) \end{matrix}

Ahol a kifejezés értelmezve van, ott a nevező pozitív, ennélfogva kérdésünk úgy is kimondható, hogy a számláló a síknak mely pontjaira negatív. Vagy mivel kéttényezős szorzat akkor és csak akkor negatív, ha tényezői ellentett előjelűek, még úgy is, hogy a sík mely pontjaira ellentett jelűek

x^{2} - 1

és

y^{2} - 1

.
Ez kétféleképpen jöhet létre:
I. ha

x^{2} < 1

és ugyanakkor

y^{2} > 1

, vagyis ha

| x | < 1

és

| y | > 1

, ami részletesebben így írható: ha

- 1 < x < 1

és ugyanakkor vagy

y < - 1

, vagy

y > 1

;
II. ha

| x | > 1

és

| y | < 1

, azaz ha

- 1 < y < 1

és ugyanakkor vagy

x > 1

, vagy

x < - 1

.
Átalakításaink megfordítva is alkalmazhatók, ezért az adott egyenlőtlenség mindazon pontokra és csak azokra teljesül, amelyekre az egyik koordináta abszolút értéke

1

-nél kisebb, a másiké pedig

1

-nél nagyobb.
E pontok áttekintése céljára a sík pontjait

x^{2} - 1

és

y^{2} - 1

előjele szerint előbb külön-külön osztályozzuk. A síkot az

y + 1 = 0

és

y - 1 = 0

egyenesekkel két félsíkra és egy síksávra osztva (1. ábra)

y^{2} - 1

az alsó és felső félsík pontjaira pozitív, a sáv pontjaira negatív és a határoló egyeneseken

0

1. ábra

x + 1 = 0

és

x - 1 = 0

egyenesek révén

x^{2} - 1

előjele szerint hasonlóan osztályozhatjuk a sík pontjait. Mindkét osztályozást egyszerre tekintve a sík

3 \cdot 3 = 9

részre esik szét:

4

síknegyedre (derékszögű szögtartományra),

1

négyzetre és

4

fél síksávra. A negyedek pontjaiban és a négyzetben

x^{2} - 1

és

y^{2} - 1

egyenlő előjelűek, itt (1) nem teljesül, a félsávokban ellentettek, itt teljesül az adott egyenlőtlenség (csíkozás). A félsíksávokhoz a határoló szakasz és a két-két félegyenes nem tartozik hozzá.

Krokovai Gizella (Nyíregyháza, Zrínyi Ilona lg. III. o. t.)

II. megoldás: Térjünk át az adott egyenlőtlenségről mindjárt az első lépésben egyenlőtlenségpárra:

\begin{matrix} - 1 < \frac{x y + 1}{x + y} < 1. \end{matrix}

(2)

Innen a nevező eltávolítása, az

(x + y)

-nal való szorzás csak úgy lehetséges, ha a kétféle előjeli lehetőségével adódó eseteket különválasztjuk. Így (2) egyenértékű az alábbi két egyenlőtlenségrendszerrel:

\begin{matrix} (Ia) & x + y & > 0, & (IIa) & x + y & < 0, \\ (Ib) & - x - y < x y & + 1 < x + y; & (IIb) & - x - y > x y & + 1 > x + y . \end{matrix}

Az (Ib) és (IIb) egyenlőtlenségpárokból

0

-ra redukálással két-két egyenlőtlenséget kapunk, és ezek mindegyikében ismét szorzatokat alakíthatunk ki:

\begin{matrix} (Ib') & (x + 1) (y + 1) > 0, & (IIb') & (x + 1) (y + 1) < 0, \\ (Ib'') & (x - 1) (y - 1) < 0, & (IIb'') & (x - 1) (y - 1) > 0. \end{matrix}

Az (Ia) és (IIa), az (Ib

'

) és (IIb

'

), az (Ib

''

) és (IIb

''

) egyenlőtlenségek egymástól csak a közbülső jelben különböznek, így a nekik eleget tevő pontokkal kitöltött síkrészeket egy-egy ábrán szétválasztva tüntethetjük fel (2a, 2b

'

és 2b

''

ábra).

2a. ábra 2b'. ábra 2b". ábra

Pl. a 2b

'

ábrán az

y + 1 = 0

és az

x + 1 = 0

egyenesekkel való szétvágás révén előállt négy síkrész közül a jobb felsőnek és a bal alsónak belső pontjaira (Ib

'

) teljesül, a másik kettőéire (IIb

'

) (az egyenesek pontjai egyik síkrészhez sem tartoznak hozzá).
Az I. rendszer mindhárom egyenlőtlenségének eleget tevő pontokat az ábrák összemásolásával a

3

-szor csíkozott síkrészekben kaphatjuk: az

X

és

Y

tengely pozitív oldala körüli fél-síksávokban, a II. rendszer pedig az 1. ábra másik két sávjához vezet.

Pődör Bálint (Bp. II., Rákóczi F. g. IV. o. t.)

Megjegyzés: 1. megoldásunk azoknak a pontoknak a fekvését is megadta, amelyekre a feladatnak a koordinátákból képezett kifejezése

1

-gyel egyenlő ill.

1

-nél nagyobb.