Kezdőlap


Feladat:	882. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fritz József , Sárközy András
Füzet:	1958/november, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Exponenciális egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 882. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Alkalmazzuk az 1, 2, $...$ , $n$ természetes számokra a számtani és a mértani közép között fennálló egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \sqrt[n]{1 \cdot 2 ... n} ≦ \frac{1 + 2 + ... + n}{n} . \end{matrix}

(1)

Észrevesszük, hogy a gyökjel alatt

n!

áll; a számlálót a számtani sor összegképlete alapján átalakítjuk:

\begin{matrix} \sqrt[n]{n!} ≦ \frac{1}{n} \cdot \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n + 1}{2} . \end{matrix}

Mindkét oldal pozitív, ezért

n

-edik hatványra emelve a két oldal nagyságviszonya változatlan marad:

\begin{matrix} n! ≦ \frac{{(n + 1)}^{n}}{2^{n}}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} 2^{n} \cdot n! ≦ {(n + 1)}^{n}, \end{matrix}

(2)

és ez a bizonyítandó állítástól csak abban különbözik, hogy a kétoldali számok egyenlőségét is megengedi. Valóban (1)-ben és így (2)-ben is állhat egyenlőség is, éspedig

n = 1

mellett.

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. I. o. t.)

II. megoldás: A bizonyítást a teljes indukció módszerével is végezhetjük.

n = 1

-re a két oldal között egyenlőség áll;

n = 2

-re teljesül az állítás, ugyanis

\begin{matrix} 2^{2} \cdot 2! = 8 < {(2 + 1)}^{2} = 9. \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

n

helyén valamely

k - 1 ≧ 2

-vel igaz az állítás, vagyis

\begin{matrix} 2^{k - 1} (k - 1)! < k^{k - 1} . \end{matrix}

(3)

Bebizonyítjuk, hogy

n

helyén az

1

-gyel nagyobb

k

-ra is igaz. Éspedig úgy, hogy egyrészt a (3)-ból

2 k > 0

-val való szorzás útján előálló

\begin{matrix} 2^{k} k! > 2 k^{k} \end{matrix}

(4)

jobb oldala, másrészt az igazolandó egyenlőtlenség (

n

helyén

k

-val) jobb oldala között áll:

\begin{matrix} 2 k^{k} < {(k + 1)}^{k} . \end{matrix}

(5)

Ugyanis a binomiális képlet szerint

\begin{matrix} \frac{{(k + 1)}^{k}}{k^{k}} = {(\frac{k + 1}{k})}^{k} = {(1 + \frac{1}{k})}^{k} = 1^{k} + k \cdot 1^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} + K = 2 + K > 2, \end{matrix}

(6)

mert itt

K

\frac{1}{k}

-nak

k

-adfokú, csupa pozitív tagokból, szám szerint

(k + 1) - 2 = k - 1 ≧ 2

tagból álló polinomja, vagyis pozitív szám, ‐ és (6)-ból, csak a szélső tagokat tekintve átszorzással (5) adódik. Most már (4) és (5) egybekapcsolásával

\begin{matrix} 2^{k} \cdot k! < 2 k^{k} < {(k + 1)}^{k}, \end{matrix}

amit bizonyítani akartunk.

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. IV. o. t.)