Kezdőlap


Feladat:	881. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Komlóssy György , Marton Katalin
Füzet:	1958/november, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 881. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Megmutatjuk, hogy létezik olyan $n$ tagú, $d = 2$ különbségű számtani sorozat, melynek kezdő tagja $a_{1} = 2 k + 1$ alakú páratlan szám és amelynek összege $n^{p}$ . E sorozat utolsó tagja

\begin{matrix} a_{n} = 2 k + 1 + 2 (n - 1) = 2 (k + n) - 1, \end{matrix}

ennélfogva azt kell belátnunk, hogy van olyan egész

k

, amelyre:

\begin{matrix} n^{p} = \frac{n}{2} (2 k + 1 + 2 (k + n) - 1) = n (2 k + n) . \end{matrix}

Valóban, innen

\begin{matrix} k = \frac{n (n^{p - 2} - 1)}{2}, \end{matrix}

és itt a számláló páros, mert vagy

n

osztható

2

-vel, vagy a zárójelbeli különbség (ugyanis az utóbbi ‐ páratlan

n

esetén ‐ két páratlan szám különbsége), tehát

k

-ra mindenképpen egész számot kapunk.

Marton Katalin (Bp. VI., Varga Katalin gyak. lg. II. o. t.)

II. megoldás: Írjuk

n^{p}

-t

n

egyenlő tag összegeként:

\begin{matrix} n^{p} = n \cdot n^{p - 1} = n^{p - 1} + n^{p - 1} + ... + n^{p - 1} . \end{matrix}

(1)

Megmutatjuk, hogy itt a szimmetrikus helyzetű tagokból (első és utolsó, második és utolsó előtti stb.) párokat alkotva és a párok egyik tagját alkalmas számmal csökkentve, a másikat ugyanannyival növelve (ami által összegük értéke nyilván nem változik) lehet az összeget úgy alakítani, hogy tagjai egymásutáni páratlan számok legyenek.
Mivel

n

-nek páros vagy páratlan volta szerint az említett tagpárok megalkotásának utolsó lépése máshogyan alakul, azért e két lehetőséget külön vizsgáljuk.
a) Ha

n

páros, akkor minden tagnak van párja, és összegünk tagjai is párosak, mert

p - 1 ≧ 1

. Csökkentsük, ill. növeljük az (1) összeg középső párjának tagjait, vagyis az

\frac{n}{2}

és az

\frac{n}{2} + 1 = \frac{n + 2}{2}

sorszámú tagot

1

-gyel, így

n^{p - 1} - 1

és

n^{p - 1} + 1

egymásután következő páratlan számok. Hasonlóan az

\frac{n}{2} - 1

és az

\frac{n + 2}{2} + 1

sorszámú tagot a következő páratlan számmal:

3

-mal, azaz

2 \cdot 1 + 1

-gyel csökkentsük ill. növeljük; az

\frac{n}{2} - 2

-ediket és az

\frac{n + 2}{2} + 2

-ediket, a páratlan számok sorozatában következő

5

-tel, azaz

2 \cdot 2 + 1

-gyel s i. t., végül az

\frac{n}{2} - (\frac{n}{2} - 1) = 1

és az

\frac{n + 2}{2} + (\frac{n}{2} - 1) = n

sorszámú tagot (a két szélső tagot)

2 (\frac{n}{2} - 1) + 1 = n - 1

-gyel. Az így átalakított, növekedő tagokból álló

\begin{matrix} n^{p} = (n^{p - 1} - n + 1) + (n^{p - 1} - n + 3) + ... + (n^{p - 1} - 3) + (n^{p - 1} - 1) + \\ + (n^{p - 1} + 1) + (n^{p - 1} + 3) + ... + (n^{p - 1} + n - 3) + (n^{p - 1} + n - 1) \end{matrix}

összeg minden tagja páratlan, bármely két egymásutáni tagjának különbsége

2

, és tagjainak száma:

\begin{matrix} 1 + \frac{(n^{p} + n - 1) - (n^{p} - n + 1)}{2} = n . \end{matrix}

b) Ha

n

páratlan, akkor (1) középső tagjának nem jut pár, a párok száma

\frac{n - 1}{2}

, a középső tag sorszáma

\frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}

a vele szomszédosaké pedig

\frac{n - 1}{2}

, ill.

\frac{n + 3}{2}

. Most minden tagja páratlan az összegnek, ezért középről kifelé haladva egymás után

2

-vel,

4

-gyel,

...,2 \frac{n - 1}{2} = n - 1

-gyel csökkentjük, ill. növeljük a párok tagjait és így

\begin{matrix} n^{p} = (n^{p - 1} - n + 1) + (n^{p - 1} - n + 3) + ... + (n^{p - 1} - 4) + (n^{p - 1} - 2) + \\ + n^{p - 1} + (n^{p - 1} + 2) + (n^{p - 1} + 4) + ... + (n^{p - 1} + n - 3) + (n^{p - 1} + n - 1) . \end{matrix}

Az a) eset mintájára könnyű belátni, hogy ez a felbontás is megfelel mindegyik követelménynek.

Komlóssy György (Szolnok, Verseghy F. g. II. o. t.)